Um cilindro uniforme de raio externo R e massa M , com momento de inércia em relação ao centro de massa
, parte do repouso e rola sem deslizar por uma inclinação inclinada a um ângulo
em relação à horizontal. O centro de massa do cilindro cai uma distância vertical h quando atinge o solo. Sendo g a aceleração da gravidade, e não havendo atrito e nem resistência de qualquer outra natureza, o módulo da velocidade com que o conjunto atinge o solo vale
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um cilindro uniforme de raio $ R $ e massa $ M $ que rola sem deslizar por uma rampa inclinada num ângulo $ \beta $. O cilindro começa do repouso e desce até que o centro de massa cai uma altura vertical $ h $. A pergunta é: qual é a velocidade que o cilindro atinge o solo? Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática de corpos rolantes e conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na energia envolvida nesse movimento. No início, o cilindro está parado, então ele tem apenas energia potencial gravitacional devido à altura $ h $. Quando ele chega ao solo, essa energia potencial se transforma em energia cinética translacional (de movimento linear) e em energia cinética rotacional (de rotação). A conservação de energia nos diz que a energia inicial é igual à energia final.
Passo 3
Vamos escrever isso matematicamente. A energia potencial inicial é:
Aqui, $ g $ é a aceleração da gravidade.
A energia cinética final é a soma da energia cinética translacional e rotacional:
Onde:
- $ v $ é a velocidade linear do cilindro.
- $ I_{cm} $ é o momento de inércia do cilindro em relação ao centro de massa, que é dado por $ \frac{1}{2} M R^2 $.
- $ \omega $ é a velocidade angular.
Passo 4
Como o cilindro está rolando sem deslizar, há uma relação entre a velocidade linear $ v $ e a velocidade angular $ \omega $:
Isso significa que podemos expressar $ \omega $ em termos de $ v $:
Passo 5
Agora, substituímos $ I_{cm} $ e $ \omega $ na expressão da energia cinética:
Simplificando:
Passo 6
Aplicando a conservação de energia $ E_{pot} = E_{cin} $:
Podemos cancelar $ M $ dos dois lados da equação:
Passo 7
Finalmente, resolvemos para $ v $:
Resposta
A velocidade com que o cilindro atinge o solo é: