Um cilíndro uniforme de raio R e massa M, está montado de modo a poder girar livremente em torno de um eixo horizontal paralelo ao eixo central longitudinal do cilíndro e situado a uma distância R / 2 deste eixo. O cilíndro é liberado a partir do repouso, com o eixo central longitudinal a uma altura R / 2 do eixo em torno do qual pode girar. Quando o eixo longitudinal central e o eixo de rotação estão à mesma altura determinar (a) a velocidade angular do cilíndro (b) a aceleração centrípeta do centro de massa do cilíndro e (b) a aceleração tangencial do centro de massa. Para o cilíndro Icm=M R^2 / 2. ( 20 pontos)

Passo 1

Ok, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um cilindro uniforme com raio R e massa M que pode girar livremente em torno de um eixo horizontal. Esse eixo está a uma distância R/2 do eixo central do cilindro. O cilindro é solto do repouso quando seu eixo central está a uma altura R/2 acima do eixo de rotação. Precisamos determinar:
(a) A velocidade angular do cilindro quando o eixo central estiver na mesma altura do eixo de rotação.
(b) A aceleração centrípeta do centro de massa do cilindro nesse instante.
© A aceleração tangencial do centro de massa.
Para resolver, vamos usar conceitos de energia mecânica e dinâmica rotacional. Vamos precisar das fórmulas para energia potencial, energia cinética rotacional e as relações entre acelerações centrípeta e tangencial.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o princípio da conservação da energia. Quando o cilindro é solto, ele tem energia potencial gravitacional e não tem energia cinética (está em repouso). Conforme ele gira, essa energia potencial é convertida em energia cinética rotacional.
A energia potencial inicial ( Ui) é dada por:
Ui = M g h
onde h é a altura inicial do centro de massa em relação ao ponto de rotação. Aqui, h = R2.
A energia cinética final ( Kf) quando o cilindro está girando é:
Kf = 12 I omega^2
onde I é o momento de inércia em relação ao eixo de rotação e omega é a velocidade angular que queremos encontrar.

Passo 3

Precisamos encontrar o momento de inércia do cilindro em relação ao eixo de rotação. Sabemos que o momento de inércia em relação ao eixo central ( Icm) é:
Icm = 12 M R^2
Usando o Teorema de Steiner, que nos permite calcular o momento de inércia em um eixo paralelo ao eixo central:
I = Icm + M d^2
onde d é a distância entre os dois eixos. Aqui, d = R2.
Então,
I = 12 M R^2 + M (R2)^2 = 12 M R^2 + 14 M R^2 = 34 M R^2

Passo 4

Agora, aplicamos a conservação da energia:
Ui = Kf
M g h = 12 I omega^2
Substituindo I e h:
M g (R2) = 12 (34 M R^2) omega^2
Simplificando:
M g R2 = 38 M R^2 omega^2
Os termos M e R cancelam:
g2 = 38 R omega^2
Resolvendo para omega:
omega^2 = 4 g3 R
omega = raiz4 g3 R

Passo 5

Agora que temos a velocidade angular omega, podemos calcular as acelerações solicitadas.
(a) Velocidade angular do cilindro:
omega = raiz4 g3 R
(b) Aceleração centrípeta ( ac) do centro de massa:
A aceleração centrípeta é dada por:
ac = omega^2 r
onde r é a distância do centro de massa ao eixo de rotação. Aqui, r = R2.
Substituindo:
ac = (4 g3 R) (R2) = 4 g3 R cdot R2 = 4 g6 = 2 g3
© Aceleração tangencial ( at) do centro de massa:
A aceleração tangencial pode ser relacionada à aceleração angular ( alpha) e ao raio ( r):
at = alpha r
Primeiro, encontramos alpha a partir da relação:
alpha = domegadt
Mas como estamos lidando com movimento rotacional uniforme no instante considerado, e não há informação sobre variação de omega, podemos considerar que a aceleração tangencial está relacionada com a força de torque.
No entanto, outra abordagem é usar a relação entre energia e potência. Mas para simplificação, assumiremos que a aceleração tangencial pode ser derivada da mudança da velocidade angular.
Aqui, considerando que no instante específico, a aceleração tangencial está associada à força que causou a rotação. Usando a relação com o torque ( tau):
tau = I alpha
E o torque é:
tau = M g r = M g (R2)
Então:
M g (R2) = 34 M R^2 alpha
Cancelando M e R:
g2 = 34 R alpha
alpha = 2 g3 R
Agora, calculamos at:
at = alpha r = 2 g3 R cdot R2 = 2 g3 R cdot R2 = 2 g6 = g3

Resposta

(a) A velocidade angular do cilindro é omega = raizdfrac4 g3 R.
(b) A aceleração centrípeta do centro de massa é ac = dfrac2 g3.
© A aceleração tangencial do centro de massa é at = dfracg3.

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