Um cilíndro uniforme de raio
e massa
, está montado de modo a poder girar livremente em torno de um eixo horizontal paralelo ao eixo central longitudinal do cilíndro e situado a uma distância
deste eixo. O cilíndro é liberado a partir do repouso, com o eixo central longitudinal a uma altura
do eixo em torno do qual pode girar. Quando o eixo longitudinal central e o eixo de rotação estão à mesma altura determinar (a) a velocidade angular do cilíndro (b) a aceleração centrípeta do centro de massa do cilíndro e (b) a aceleração tangencial do centro de massa. Para o cilíndro
. ( 20 pontos)
Passo 1
Ok, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um cilindro uniforme com raio
e massa
que pode girar livremente em torno de um eixo horizontal. Esse eixo está a uma distância
do eixo central do cilindro. O cilindro é solto do repouso quando seu eixo central está a uma altura
acima do eixo de rotação. Precisamos determinar:
(a) A velocidade angular do cilindro quando o eixo central estiver na mesma altura do eixo de rotação.
(b) A aceleração centrípeta do centro de massa do cilindro nesse instante.
© A aceleração tangencial do centro de massa.
Para resolver, vamos usar conceitos de energia mecânica e dinâmica rotacional. Vamos precisar das fórmulas para energia potencial, energia cinética rotacional e as relações entre acelerações centrípeta e tangencial.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o princípio da conservação da energia. Quando o cilindro é solto, ele tem energia potencial gravitacional e não tem energia cinética (está em repouso). Conforme ele gira, essa energia potencial é convertida em energia cinética rotacional.
A energia potencial inicial (
) é dada por:
onde
é a altura inicial do centro de massa em relação ao ponto de rotação. Aqui,
.
A energia cinética final (
) quando o cilindro está girando é:
onde
é o momento de inércia em relação ao eixo de rotação e
é a velocidade angular que queremos encontrar.
Passo 3
Precisamos encontrar o momento de inércia do cilindro em relação ao eixo de rotação. Sabemos que o momento de inércia em relação ao eixo central (
) é:
Usando o Teorema de Steiner, que nos permite calcular o momento de inércia em um eixo paralelo ao eixo central:
onde
é a distância entre os dois eixos. Aqui,
.
Então,
Passo 4
Agora, aplicamos a conservação da energia:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Os termos
e
cancelam:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora que temos a velocidade angular
, podemos calcular as acelerações solicitadas.
(a) Velocidade angular do cilindro:
(b) Aceleração centrípeta (
) do centro de massa:
A aceleração centrípeta é dada por:
A aceleração centrípeta é dada por:
onde
é a distância do centro de massa ao eixo de rotação. Aqui,
.
Substituindo:
© Aceleração tangencial (
) do centro de massa:
A aceleração tangencial pode ser relacionada à aceleração angular ( ) e ao raio (
):
A aceleração tangencial pode ser relacionada à aceleração angular (
Primeiro, encontramos
a partir da relação:
Mas como estamos lidando com movimento rotacional uniforme no instante considerado, e não há informação sobre variação de
, podemos considerar que a aceleração tangencial está relacionada com a força de torque.
No entanto, outra abordagem é usar a relação entre energia e potência. Mas para simplificação, assumiremos que a aceleração tangencial pode ser derivada da mudança da velocidade angular.
Aqui, considerando que no instante específico, a aceleração tangencial está associada à força que causou a rotação. Usando a relação com o torque (
):
E o torque é:
Então:
Cancelando
e
:
Agora, calculamos
:
Resposta
(a) A velocidade angular do cilindro é
.
(b) A aceleração centrípeta do centro de massa é
.
© A aceleração tangencial do centro de massa é
.