Um evaporador duplo efeito será usado para concentrar uma solução com 11 \% de sólidos até 50 \%. A alimentação flui a 10000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} a 20^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura de ebulição do líquido no 2^{\circ} efeito é de 70^{\circ} \mathrm{C} e o vapor administrado no 1^{\circ} efeito com \mathrm{P}=198,5 \mathrm{kPa}. A água evaporada no 1^{\circ} efeito está a 95^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente global de transferência de calor no 1^{\circ} efeito é de 1000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C} e no 2^{\circ} efeito é de 800 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}. Os Cp’s das soluções são: 3,8 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C} na alimentação; 3 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C} no 1^{\circ} efeito e 2,5 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C} no 2^{\circ} efeito. Admita epe =0^{\circ} \mathrm{C}.
a) Qual a quantidade de vapor necessária para o processo ocorrer?
b) Quais as áreas dos 2 evaporadores?
c) Qual a economia total de vapor?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo para a gente não se perder):\n
  • Alimentação: \;F=10000\\ \mathrm{kg/h} a \;20^\circ\mathrm{C}.\n
  • Sólidos na alimentação: \;11\% (massa de sólidos constante no processo).\n
  • Produto final: \;50\% de sólidos.\n
  • Temperatura de ebulição no 2.º efeito: \;T_2=70^\circ\mathrm{C}.\n
  • A água evaporada no 1.º efeito tem temperatura \;T_{v1}=95^\circ\mathrm{C} (isto implica que o líquido no 1.º efeito ferve a \;95^\circ\mathrm{C}).\n
  • Vapor de utilidade fornecido ao 1.º efeito com \;P=198{,}5\\ \mathrm{kPa} (vamos usar a temperatura de saturação aproximada correspondente, ver passo adiante).\n
  • Coeficientes globais de transferência de calor: \;U_1=1000\\ \mathrm{W/m^2\,^\circ C} (1.º efeito) e \;U_2=800\\ \mathrm{W/m^2\,^\circ C} (2.º efeito).\n
  • Capacidade calorífica (Cp): alimentação \;C_{pF}=3{,}8\\ \mathrm{kJ/kg\,^\circ C}; solução no 1.º efeito \;C_{p1}=3{,}0\\ \mathrm{kJ/kg\,^\circ C}; solução no 2.º efeito \;C_{p2}=2{,}5\\ \mathrm{kJ/kg\,^\circ C}.\n
  • Admitir \mathrm{epe}=0^\circ\mathrm{C} (ou seja, sem sub-resfriamento do condensado → condensação à temperatura de saturação).\n
    O que o enunciado pede:\n
    a) Qual a quantidade de vapor necessária (kg/h) para o processo?\n
    b) Quais as áreas dos 2 evaporadores (m²)?\n
    c) Qual a economia total de vapor (kg água evaporada por kg de vapor de utilidade)?\n

Passo 2

Calcular quanto precisa evaporar (massa de água a ser removida) usando a conservação de massa dos sólidos.\n
Massa de sólidos na alimentação:\n
\text{Sólidos} = F \cdot 0{,}11 = 10000 \cdot 0{,}11 = 1100\\ \mathrm{kg/h}.ó\n
Massa do produto (50% sólidos):\n
P = \frac{\text{Sólidos}}{0{,}50} = \frac{1100}{0{,}50} = 2200\\ \mathrm{kg/h}.ó\n
Portanto água removida (evaporada) total:\n
\dot{m}_{\mathrm{evap,tot}} = F - P = 10000 - 2200 = 7800\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 3

Escolha do esquema de alimentação e raciocínio sobre os efeitos\n
  • Aqui vamos assumir o esquema usual eficiente: a alimentação entra no 2.º efeito (o de menor temperatura) e, após concentração parcial, passa para o 1.º efeito (esquema contracorrente / alimentação ao último efeito). Isso é coerente com os C_p fornecidos por efeito e com o dado de que o 2.º efeito ferve a 70^\circ\mathrm{C} e o 1.º a 95^\circ\mathrm{C}.\n
  • Denoto por \;m_2 a massa de água evaporada no 2.º efeito e por \;m_1 a massa evaporada no 1.º efeito. Tem-se\n
m_1 + m_2 = 7800\\ \mathrm{kg/h}.\n
  • O vapor gerado no 1.º efeito (massa m_1) é usado para aquecer/evaporar no 2.º efeito (condensa a 95^\circ\mathrm{C}). O vapor de utilidade (vapor externo) condensa no 1.º efeito e tem temperatura de saturação correspondente a P=198{,}5\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Equações de balanço de energia (explicando os termos)\n
  • Idea: calor liberado pela condensação do vapor é usado para aquecer o líquido (sensible) e evaporar água (latente). Latente = \lambda (kJ/kg) no respectivo efeito.\n
  • Para o 2.º efeito: o calor disponível é a condensação do vapor proveniente do 1.º efeito, ou seja Q_2 = m_1\lambda_1. Esse calor aquece a alimentação de 20^\circ\mathrm{C} até 70^\circ\mathrm{C} e evapora m_2. Assim\n
m_1\lambda_1 = F C_{pF} (70-20) + m_2 \lambda_2.\n
  • Para o 1.º efeito: o calor disponível é a condensação do vapor de utilidade m_s (vapor fornecido), Q_1 = m_s \lambda_s. Esse calor aquece a massa que entra no 1.º efeito (que é F - m_2) de 70^\circ\mathrm{C} para 95^\circ\mathrm{C} e evapora m_1:\n
m_s \lambda_s = (F - m_2) C_{p1} (95-70) + m_1 \lambda_1.\n
  • Temos três incógnitas m_1,m_2,m_s e as duas equações acima mais a equação de massa m_1+m_2=7800. Para resolver precisamos de valores para \lambda (calor latente) a cada temperatura.

Passo 5

Aproximação para os calores latentes e temperatura de saturação do vapor de utilidade\n
  • Para simplificar e porque a variação de \lambda entre 70^\circ\mathrm{C} e 95^\circ\mathrm{C} é pequena, vamos assumir um valor prático e usual para o calor latente perto de 100^\circ\mathrm{C}:\n
\lambda \approx 2257\\ \mathrm{kJ/kg}.\n
(Explicação: \lambda diminui com a temperatura, mas esse valor é normalmente usado em cálculos pedagógicos. O erro introduzido é pequeno comparado ao restante.)\n
  • Assim usaremos \lambda_s=\lambda_1=\lambda_2=\lambda=2257\\ \mathrm{kJ/kg}.\n
  • Temperatura de saturação do vapor de utilidade: para P=198{,}5\\ \mathrm{kPa} a temperatura de saturação é aproximadamente 120^\circ\mathrm{C}. Como foi dado \mathrm{epe}=0^\circ\mathrm{C}, o vapor condensa à sua temperatura de saturação. Portanto as diferenças de temperatura de projeto nas trocas serão:\n
\Delta T_1 = T_{\text{sat,steam}} - T_1 \approx 120 - 95 = 25^\circ\mathrm{C},\n
\Delta T_2 = T_{v1} - T_2 = 95 - 70 = 25^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Resolver a equação do 2.º efeito para obter relação entre m_1 e m_2\n
A equação do 2.º efeito com \lambda constante fica\n
m_1 \lambda = F C_{pF} (70-20) + m_2 \lambda.\n
Rearranjando:\n
m_1 - m_2 = \frac{F C_{pF} (70-20)}{\lambda}.\n
Calculemos o membro direito numericamente:\n
\frac{10000 \cdot 3{,}8 \cdot 50}{2257} = \frac{1\,900\,000}{2257}\approx 841{,}83\\ \mathrm{kg/h}.\n
Portanto\n
m_1 - m_2 \approx 841{,}83\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 7

Determinar m_1 e m_2 usando m_1+m_2=7800\n
Somando e resolvendo o sistema:\n
\begin{cases} m_1 + m_2 = 7800,\\[4pt] m_1 - m_2 = 841{,}83, \end{cases}\n
temos\n
m_1 = \frac{7800 + 841{,}83}{2} \approx 4320{,}92\\ \mathrm{kg/h},\n
m_2 = 7800 - m_1 \approx 3479{,}08\\ \mathrm{kg/h}.]

Passo 8

Calcular o vapor de utilidade necessário m_s a partir do balanço do 1.º efeito\n
A equação do 1.º efeito (com \lambda constante) é\n
m_s \lambda = (F - m_2) C_{p1} (95-70) + m_1 \lambda.\n
Isolando m_s:\n
m_s = m_1 + \frac{(F - m_2) C_{p1} (95-70)}{\lambda}.\n
Calculemos numericamente o termo sensível:\n
F - m_2 = 10000 - 3479{,}08 = 6520{,}92\\ \mathrm{kg/h}.\n
Sensible heat term:\n
(6520{,}92)\cdot 3{,}0 \cdot 25 = 6520{,}92 \cdot 75 = 489068{,}9\\ \mathrm{kJ/h}.\n
Dividindo por \lambda:\n
\frac{489068{,}9}{2257} \approx 216{,}67\\ \mathrm{kg/h}.\n
Logo\n
m_s \approx 4320{,}92 + 216{,}67 = 4537{,}59\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 9

Calcular os calores envolvidos ( Q_1 e Q_2) — vamos precisar para dimensionar áreas\n
  • Calor fornecido pelo vapor de utilidade ao 1.º efeito:\n
Q_1 = m_s \lambda \approx 4537{,}59 \cdot 2257 \approx 10\,241\,319\\ \mathrm{kJ/h}.\n
  • Calor fornecido ao 2.º efeito (condensação do vapor gerado no 1.º):\n
Q_2 = m_1 \lambda \approx 4320{,}92 \cdot 2257 \approx 9\,752\,106\\ \mathrm{kJ/h}.\n
Converter para Watts (1 kJ/h = 1/3{,}6 W):\n
Q_{1,\mathrm{W}} = \frac{10\,241\,319}{3{,}6} \approx 2\,844\,811\\ \mathrm{W},\n
Q_{2,\mathrm{W}} = \frac{9\,752\,106}{3{,}6} \approx 2\,709\,474\\ \mathrm{W}.

Passo 10

Calcular as áreas usando A = \dfrac{Q}{U\,\Delta T}\n
  • Para o 1.º efeito:\n
\Delta T_1 = 120 - 95 = 25^\circ\mathrm{C},\n
A_1 = \frac{Q_{1,\mathrm{W}}}{U_1 \Delta T_1} = \frac{2\,844\,811}{1000 \cdot 25} \approx 113{,}79\\ \mathrm{m^2}.\n
  • Para o 2.º efeito:\n
\Delta T_2 = 95 - 70 = 25^\circ\mathrm{C},\n
A_2 = \frac{Q_{2,\mathrm{W}}}{U_2 \Delta T_2} = \frac{2\,709\,474}{800 \cdot 25} = \frac{2\,709\,474}{20\,000} \approx 135{,}47\\ \mathrm{m^2}.

Passo 11

Calcular a economia total de vapor (kg de água evaporada por kg de vapor de utilidade)\n
\text{Economia} = \frac{\dot{m}_{\mathrm{evap,tot}}}{m_s} = \frac{7800}{4537{,}59} \approx 1{,}718\\ \frac{\mathrm{kg\\ evaporada}}{\mathrm{kg\\ vapor}}.

Resposta

a) m_s \approx 4537{,}6\\ \mathrm{kg/h}\n
b) A_1 \approx 113{,}79\\ \mathrm{m^2} \n
A_2 \approx 135{,}47\\ \mathrm{m^2}\n
c) Economia total de vapor \approx 1{,}718\\ \mathrm{kg\;evaporada/kg\;vapor}

Exercícios relacionados