Se cinco bolas são arremessadas aleatoriamente dentro de caixas, e que todos arremessos são independentes, qual é a probabilidade que nenhuma caixa contenha mais que duas bolas?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Se cinco bolas são arremessadas aleatoriamente dentro de caixas (cada bola escolhe uma caixa com igual probabilidade e tudo é independente), qual a probabilidade de que nenhuma caixa contenha mais do que duas bolas?”
Conteúdo: probabilidade clássica + contagem de casos (princípio da inclusão–exclusão). Vamos precisar contar quantos lançamentos totais existem e, entre eles, quantos respeitam o limite de no máximo 2 bolas por caixa.
Passo 2
Primeiro, o total de resultados possíveis (espaço amostral) é simples: cada uma das 5 bolas tem opções de caixa, então
Passo 3
Agora, queremos contar quantos desses lançamentos têm nenhuma caixa com 3 ou mais bolas. Em vez de tentar contar direto, usamos o princípio da inclusão–exclusão. Definimos, para cada caixa , o evento
Queremos a probabilidade de nenhum ocorrer, ou seja
Passo 4
Pelo princípio da inclusão–exclusão em sua forma mais simples (aqui só precisamos do termo de primeira ordem, pois não há interseção de dois eventos “≥3 bolas” possível com apenas 5 bolas):
#nenhum Ai ;=;#Omega;-;sumi=1^n#Ai,
pois duas caixas não podem ter cada uma ≥3 bolas com só 5 bolas no total.
Passo 5
Vamos achar #Ai. Focado em uma caixa fixa (digamos a caixa 1): A1 são todos os lançamentos onde ela recebe 3, 4 ou 5 bolas.
Escolher quais k bolas (entre as 5) vão pra caixa 1: binom5k.
As outras 5-k bolas vão para qualquer uma das outras n-1 caixas: (n-1)^5-k.
Logo, para k=3,4,5: