Se cinco bolas são arremessadas aleatoriamente dentro de n caixas, e que todos arremessos são independentes, qual é a probabilidade que nenhuma caixa contenha mais que duas bolas?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Se cinco bolas são arremessadas aleatoriamente dentro de n caixas (cada bola escolhe uma caixa com igual probabilidade e tudo é independente), qual a probabilidade de que nenhuma caixa contenha mais do que duas bolas?”
Conteúdo: probabilidade clássica + contagem de casos (princípio da inclusão–exclusão). Vamos precisar contar quantos lançamentos totais existem e, entre eles, quantos respeitam o limite de no máximo 2 bolas por caixa.

Passo 2

Primeiro, o total de resultados possíveis (espaço amostral) é simples: cada uma das 5 bolas tem n opções de caixa, então
#Omega = n^5

Passo 3

Agora, queremos contar quantos desses lançamentos têm nenhuma caixa com 3 ou mais bolas. Em vez de tentar contar direto, usamos o princípio da inclusão–exclusão. Definimos, para cada caixa i, o evento
Ai =a caixa $i$ recebe pelo menos 3 bolas
Queremos a probabilidade de nenhum Ai ocorrer, ou seja
Pl(A1capA2capcdotscapAnr)

Passo 4

Pelo princípio da inclusão–exclusão em sua forma mais simples (aqui só precisamos do termo de primeira ordem, pois não há interseção de dois eventos “≥3 bolas” possível com apenas 5 bolas):
#nenhum Ai ;=;#Omega;-;sumi=1^n#Ai,
pois duas caixas não podem ter cada uma ≥3 bolas com só 5 bolas no total.

Passo 5

Vamos achar #Ai. Focado em uma caixa fixa (digamos a caixa 1):
A1 são todos os lançamentos onde ela recebe 3, 4 ou 5 bolas.
  • Escolher quais k bolas (entre as 5) vão pra caixa 1: binom5k.
  • As outras 5-k bolas vão para qualquer uma das outras n-1 caixas: (n-1)^5-k.
    Logo, para k=3,4,5:
#A1 ;=;sumk=3^5 binom5k(n-1)^5-k ;=; binom53(n-1)^2 + binom54(n-1)^1 + binom55(n-1)^0
=;10,(n-1)^2 ;+;5,(n-1);+;1

Passo 6

Como todas as caixas são “iguais” em contagem, sumi=1^n#Ai = ncdot#A1.
Então o número de resultados sem nenhuma caixa com ≥3 bolas é
n^5 ;-; nl[,10,(n-1)^2 +5,(n-1)+1;r]
E, para virar probabilidade, dividimos por n^5:
P = n^5 ;-; nl(10(n-1)^2 +5(n-1)+1r)n^5

Resposta

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