Suponha que uma família tenha exatamente n crianças ( n >= 2 ). Assuma que a probabilidade que qualquer criança será uma garota é 1 / 2 e que todos nascimentos sejam independentes. Dada que a família tenha pelo menos uma garota, determine a probabilidade que a família tenha pelo menos um garoto.

Passo 1

Então tá, vamos resumir o que o exercício pede. A gente tem uma família com exatamente crianças ( ), cada bebê tem probabilidade de ser menina ou menino, e esses nascimentos são independentes. A questão é: sabendo que tem pelo menos uma menina, qual a probabilidade de ter pelo menos um menino?
Conteúdo: probabilidade condicional, eventos independentes, complementares e regras básicas de probabilidade. Vamos precisar saber:
  • Definição de probabilidade condicional .
  • Como calcular “pelo menos um” usando complementos (evento oposto).

Passo 2

Primeiro, define dois eventos:
  • P(Bmid G);=;P(Bcap G)P(G) : “há pelo menos uma garota”.
  • : “há pelo menos um garoto”.
    A gente quer . Pela fórmula de probabilidade condicional:
Então precisamos de e .

Passo 3

Calcular P(nenhuma menina) = P(todas meninos) = l(tfrac12r)^n , a probabilidade de ter pelo menos uma garota. É mais fácil usar o complemento: “nenhuma menina” (ou seja, todas são meninos).
P(G)=1 - l(tfrac12r)^n
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Passo 4

Calcular P(todas meninas) = l(tfrac12r)^n, P(todas meninos) = l(tfrac12r)^n , a probabilidade de ter pelo menos uma menina e pelo menos um menino. De novo, usamos complementar mas agora do evento “só um tipo de criança” (ou todas meninas, ou todos meninos).
P(só um tipo) = P(todas meninas) + P(todas meninos) = 2l(tfrac12r)^n = 2^1-n
Como esses dois eventos são disjuntos,
P(Bcap G) = 1 - P(só um tipo) = 1 - 2^1-n ó
Então
ó

Passo 5

Agora monta a condicional:
P(Bmid G) = P(Bcap G)P(G) = 1 - 2^1-n1 - 2^-n
Pra ficar mais “bonitinho”, multiplica numerador e denominador por P(Bmid G) = 2^n - 22^n - 1 :

Resposta

boxedPl(pelo menos um menino;|;pelo menos uma meninar) = 1 - 2^1-n1 - 2^-n = 2^n - 22^n - 1

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