4- Cinco moles de um gás ideal, a 2 atm de pressão e 20^{\circ} \mathrm{C}, são aquecidos a pressão constante, até a temperatura final de 100^{\circ} \mathrm{C}. Para o gás, C_{v}=6,0+9,8 \times 10^{-3} \mathrm{Tem} \mathrm{cal} / \mathrm{mol}. Calcular \mathrm{Q}, \mathrm{W}, \Delta \mathrm{U} e \Delta \mathrm{H} para o processo em calorias. ( R: \Delta U=3705,95 \mathrm{cal} ; \Delta H=Q=4500,75 \mathrm{cal} ; W=-794,8 \mathrm{cal} )

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o calor trocado Q, o trabalho W, a variação da energia interna \Delta U e a variação da entalpia \Delta H para o aquecimento de 5 mols de um gás ideal a pressão constante. Informações dadas no enunciado úteis para resolver o problema:
\begin{aligned} &\text{número de mols: } n=5,\\\ &\text{pressão inicial (e constante): } P=2\\ \text{atm} \quad\text{(valor da pressão será usado indiretamente)},\\\ &\text{temperatura inicial: } T_1=20^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{temperatura final: } T_2=100^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{capacidade calorífica molar a volume constante: } C_v(T)=6{,}0+9{,}8\times10^{-3}\,T\quad\text{(em cal/mol·K)},\\\ &\text{constante universal dos gases (em calorias): } R\approx1{,}987\\ \text{cal/(mol·K)}. \end{aligned}úããáí
Observação importante: quando a capacidade C_v depende de T devemos integrar C_v(T) entre as temperaturas inicial e final. Antes de integrar, converto as temperaturas para Kelvin (porque as leis termodinâmicas usam temperatura absoluta):
T_1=20^\circ\mathrm{C}=293\\ \mathrm{K},\qquad T_2=100^\circ\mathrm{C}=373\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicação didática curta):
  • A variação da energia interna para um gás ideal com C_v(T) é
\Delta U = n\int_{T_1}^{T_2} C_v(T)\,dT.
Aqui n é o número de mols, T é temperatura em Kelvin e C_v(T) tem unidades de cal/(mol·K). Integrar dá a energia por mol multiplicada por n.
  • Para um processo a pressão constante, o trabalho de expansão (pela convenção usual onde trabalho feito pelo sistema é negativo) é
W = -P\,\Delta V.
Usando a equação dos gases ideais PV=nRT obtemos \Delta V = \dfrac{nR(T_2-T_1)}{P}, e substituindo em W a pressão cancela, resultando numa forma muito prática:
W = -nR(T_2-T_1).
  • A capacidade a pressão constante satisfaz C_p(T)=C_v(T)+R para gás ideal. O calor trocado a pressão constante é
Q = n\int_{T_1}^{T_2} C_p(T)\,dT = n\int_{T_1}^{T_2}\big(C_v(T)+R\big)\,dT = \Delta U + nR(T_2-T_1).
  • A variação de entalpia para gás ideal é \Delta H = \Delta U + nR(T_2-T_1). Em um processo a pressão constante, \Delta H = Q. Vou usar essas fórmulas para calcular os valores numéricos.

Passo 3

Cálculo de \Delta U integrando C_v(T).
Escrevo C_v(T) explicitamente:
C_v(T)=6{,}0 + 9{,}8\times10^{-3}\,T\quad(\text{cal/mol·K}).
Faço a integral por mol:
\int_{T_1}^{T_2} C_v(T)\,dT = \int_{T_1}^{T_2}\big(6{,}0 + 9{,}8\times10^{-3}T\big)\,dT.
Integro termo a termo (explicando cada passo): a integral de uma constante a é a(T_2-T_1). A integral de bT é \tfrac{b}{2}(T_2^2-T_1^2). Assim
\int_{T_1}^{T_2} C_v(T)\,dT = 6{,}0\,(T_2-T_1) + \frac{9{,}8\times10^{-3}}{2}\,(T_2^2-T_1^2).
Substituo T_1=293 K e T_2=373 K:
\begin{aligned} T_2-T_1 &= 373-293=80\\ \mathrm{K},\\[4pt] T_2^2-T_1^2 &= 373^2-293^2=(373-293)(373+293)=80\cdot666=53280\\ \mathrm{K}^2. \end{aligned}
Agora calculo por mol:
\begin{aligned} \int_{T_1}^{T_2} C_v(T)\,dT &= 6{,}0\cdot80 + \frac{9{,}8\times10^{-3}}{2}\cdot53280\\[4pt] &= 480 + 4{,}9\times10^{-3}\cdot53280. \end{aligned}
Faço a multiplicação:
4{,}9\times10^{-3}\cdot53280 = 261{,}072\\ \text{(cal/mol)}.
Logo a contribuição por mol é
480 + 261{,}072 = 741{,}072\\ \text{cal/mol}.
Multiplico pelo número de mols n=5:
\Delta U = n\cdot741{,}072 = 5\cdot741{,}072 = 3705{,}36\\ \text{cal}.]

Passo 4

Cálculo do trabalho W a pressão constante usando a fórmula simplificada:
W = -nR(T_2-T_1).
Substituo n=5, R=1{,}987\\ \text{cal/(mol·K)} e (T_2-T_1)=80\\ \mathrm{K}:
W = -5\cdot1{,}987\cdot80 = -794{,}80\\ \text{cal}.
Explicação curta: o sinal negativo indica que o sistema realizou trabalho sobre a vizinhança ao expandir durante o aquecimento.

Passo 5

Cálculo do calor Q a pressão constante e da variação de entalpia \Delta H.
Para gás ideal vale
Q = \Delta H = \Delta U + nR(T_2-T_1).
Já tenho \Delta U=3705{,}36\\ \text{cal} e nR(T_2-T_1)=794{,}80\\ \text{cal}. Então:
Q = \Delta H = 3705{,}36 + 794{,}80 = 4500{,}16\\ \text{cal}.
Comentário didático: como o processo é a pressão constante, todo calor trocado entra na variação de entalpia; portanto Q=\Delta H. Outra forma seria integrar C_p(T)=C_v(T)+R diretamente, que leva ao mesmo resultado.

Resposta

Q = 4500{,}16\\ \mathrm{cal}\n
W = -794{,}80\\ \mathrm{cal}\n
\Delta U = 3705{,}36\\ \mathrm{cal}\n
\Delta H = 4500{,}16\\ \mathrm{cal}

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