Numa expansão adiabática de um mol de gás ideal a uma temperatura inicial de 25^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{o} trabalho produzido foi de 1200 J . Se \bar{C}_{v}=1,5 R, calcule a temperatura final, \mathrm{Q}, \Delta \mathrm{U} e \Delta \mathrm{H}. (R: T2 = 202 K ; \mathrm{Q}=0; \Delta \mathrm{U}=-1200 \mathrm{~J} ; \Delta \mathrm{H}=-2000 \mathrm{~J} )

Passo 1

O enunciado dá uma expansão adiabática de 1 mol de gás ideal com temperatura inicial 25^\circ\mathrm{C}. Dados e perguntas claros:
  • Temperatura inicial: T_i=25^\circ\mathrm{C}=25+273=298\\ \mathrm{K}.
  • Trabalho produzido pelo gás: W=+1200\\ \mathrm{J} (positivo porque o gás realizou trabalho sobre o meio).
  • Capacidade calorífica molar a volume constante: \bar{C}_v=1,5\,R.
  • Número de mols: n=1.
    Perguntas pedidas: calcular a temperatura final T_f, o calor Q, a variação da energia interna \Delta U e a variação da entalpia \Delta H.

Passo 2

Usando que o processo é adiabático: por definição o calor trocado é nulo, portanto
Q=0.
Agora a Primeira Lei da Termodinâmica (convenção: W é trabalho realizado pelo sistema) é
\Delta U = Q - W.
Substituindo Q=0 e W=+1200\\ \mathrm{J},
\Delta U = 0 - 1200 = -1200\\ \mathrm{J}.
Explicação (didática): \Delta U é a variação da energia interna do gás; como o gás gastou 1200\\ \mathrm{J} realizando trabalho e não recebeu calor, sua energia interna diminuiu em 1200\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Para um gás ideal a variação da energia interna está ligada à variação de temperatura por
\Delta U = n\,\bar{C}_v\,\Delta T,
onde \bar{C}_v é a capacidade calorífica molar a volume constante, n é o número de mols e \Delta T=T_f-T_i. Vamos isolar \Delta T:
\Delta T=\frac{\Delta U}{n\,\bar{C}_v}.
Calculemos \bar{C}_v numericamente usando R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}:
\bar{C}_v=1{,}5\,R=1{,}5\times 8{,}314=12{,}471\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
Agora
\Delta T=\frac{-1200}{1\times 12{,}471}\approx -96{,}2\\ \mathrm{K}.
Portanto a temperatura final é
T_f = T_i + \Delta T = 298 + (-96{,}2) \approx 201{,}8\\ \mathrm{K}\approx 202\\ \mathrm{K}.
Comentário didático: a energia interna diminuiu, por isso a temperatura caiu. Tome cuidado com sinais: \Delta U negativo dá \Delta T negativo.

Passo 4

Agora vamos calcular \Delta H. Para um gás ideal a entalpia molar satisfaz \bar{C}_p=\bar{C}_v+R. Assim
\bar{C}_p = 1{,}5R + R = 2{,}5R.
Numericamente,
\bar{C}_p = 2{,}5\times 8{,}314 = 20{,}785\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
A variação de entalpia é
\Delta H = n\,\bar{C}_p\,\Delta T.
Substituindo n=1 e \Delta T\approx -96{,}2\\ \mathrm{K},
\Delta H = 1\times 20{,}785\times(-96{,}2)\approx -1999\\ \mathrm{J}\approx -2000\\ \mathrm{J}.
Explicação (didática): para gás ideal \Delta H depende só de \Delta T, e como T caiu, \Delta H também fica negativa.

Passo 5

Verificação alternativa (checagem): usar a relação \Delta H = \Delta U + \Delta(nRT). Para n=1,
\Delta(nRT) = nR\Delta T = R\Delta T = 8{,}314\times(-96{,}2)\approx -799{,}2\\ \mathrm{J}.
Então
\Delta H = \Delta U + R\Delta T = -1200 + (-799{,}2) \approx -1999{,}2\\ \mathrm{J},
coincidindo com o valor obtido por n\bar{C}_p\Delta T. Bom sinal de consistência.

Resposta

T_f \approx 202\\ \mathrm{K}
Q=0
\Delta U = -1200\\ \mathrm{J}
\Delta H \approx -2000\\ \mathrm{J}

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