- O que requer mais fornecimento de calor: elevar a temperatura de um gás em um cilindro à pressão constante ou em um cilindro fechado, a volume constante? Explique.
Passo 1
O enunciado pergunta: qual dos dois processos requer mais fornecimento de calor — aquecer um gás num cilindro à pressão constante ou num cilindro fechado (volume constante) — assumindo que a variação de temperatura é a mesma e que é a mesma quantidade de gás em ambos os casos?
Informações relevantes fornecidas (ou implicitamente assumidas):
Informações relevantes fornecidas (ou implicitamente assumidas):
- Temos a mesma quantidade de gás, que chamaremos de
(número de mols). - Em ambos os processos queremos a mesma variação de temperatura,
. - Um processo ocorre a pressão constante; o outro, a volume constante (cilindro fechado).
- Não há outras perdas de energia além do calor fornecido e do trabalho realizado pelo gás.
Passo 2
Apresento a ferramenta central: a primeira lei da termodinâmica. Ela liga a energia interna, o calor e o trabalho e é escrita como
onde
é a variação da energia interna do gás,
é o calor recebido pelo sistema (positivo se entra calor) e
é o trabalho realizado pelo gás (positivo se o gás realiza trabalho sobre o ambiente). Rearranjando para achar o calor recebido:
Aqui cada símbolo significa:
(J) é o aumento da energia interna,
(J) é o calor fornecido,
(J) é o trabalho realizado.
Passo 3
Para gases ideais a energia interna depende apenas da temperatura. Podemos escrever, para uma quantidade
de mols,
onde
é a capacidade térmica molar a volume constante (unidade
). Explicação:
diz quanto de energia interna (por mol) aumenta quando a temperatura sobe 1 kelvin mantendo o volume fixo. É uma propriedade do gás (por exemplo, para gás monoatômico ideal
).
Passo 4
Agora o caso do processo a volume constante. Se o volume não muda, o gás não realiza expansão macroscópica, portanto o trabalho realizado é zero:
Aplicando a primeira lei:
Interpretação prática: todo o calor fornecido vai apenas para aumentar a energia interna (ou seja, aumentar a temperatura).
Passo 5
Agora o caso do processo a pressão constante. Nesse caso o gás pode expandir, então realiza trabalho. O trabalho realizado pelo gás numa expansão quasi-estática à pressão constante é
Usamos a equação de estado dos gases ideais
. Diferenciando (ou observando a variação entre estados com mesma
) obtemos
onde
é a constante universal dos gases (
). Substituindo na primeira lei:
Definimos a capacidade térmica molar a pressão constante como
logo
Explicação:
é maior que
porque, além de aumentar a energia interna, parte do calor tem de fornecer a energia para o trabalho de expansão
.
Passo 6
Comparando os dois resultados:
Como
, temos
e, para a mesma
e mesma
,
Intuição física: no processo à pressão constante o gás expande; parte do calor é gasta realizando trabalho contra a pressão externa, então é necessário fornecer mais calor para obter a mesma elevação de temperatura.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar (sem necessidade de calculadora complicada): suponha
mol,
e um gás monoatômico ideal com
. Então
Vê-se claramente que
é maior: parte do calor em
foi usada para o trabalho de expansão.
Resposta
É necessário mais calor no processo à pressão constante;
e
com
, logo
.