• O que requer mais fornecimento de calor: elevar a temperatura de um gás em um cilindro à pressão constante ou em um cilindro fechado, a volume constante? Explique.

Passo 1

O enunciado pergunta: qual dos dois processos requer mais fornecimento de calor — aquecer um gás num cilindro à pressão constante ou num cilindro fechado (volume constante) — assumindo que a variação de temperatura é a mesma e que é a mesma quantidade de gás em ambos os casos?
Informações relevantes fornecidas (ou implicitamente assumidas):
  • Temos a mesma quantidade de gás, que chamaremos de n (número de mols).
  • Em ambos os processos queremos a mesma variação de temperatura, \Delta T.
  • Um processo ocorre a pressão constante; o outro, a volume constante (cilindro fechado).
  • Não há outras perdas de energia além do calor fornecido e do trabalho realizado pelo gás.

Passo 2

Apresento a ferramenta central: a primeira lei da termodinâmica. Ela liga a energia interna, o calor e o trabalho e é escrita como
\Delta U = Q - W,
onde \Delta U é a variação da energia interna do gás, Q é o calor recebido pelo sistema (positivo se entra calor) e W é o trabalho realizado pelo gás (positivo se o gás realiza trabalho sobre o ambiente). Rearranjando para achar o calor recebido:
Q = \Delta U + W.
Aqui cada símbolo significa: \Delta U (J) é o aumento da energia interna, Q (J) é o calor fornecido, W (J) é o trabalho realizado.

Passo 3

Para gases ideais a energia interna depende apenas da temperatura. Podemos escrever, para uma quantidade n de mols,
\Delta U = n C_V \Delta T,
onde C_V é a capacidade térmica molar a volume constante (unidade \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}). Explicação: C_V diz quanto de energia interna (por mol) aumenta quando a temperatura sobe 1 kelvin mantendo o volume fixo. É uma propriedade do gás (por exemplo, para gás monoatômico ideal C_V=\tfrac{3}{2}R).

Passo 4

Agora o caso do processo a volume constante. Se o volume não muda, o gás não realiza expansão macroscópica, portanto o trabalho realizado é zero:
W_{V=\text{const}}=0.
Aplicando a primeira lei:
Q_{V}=\Delta U + W = n C_V \Delta T + 0 = n C_V \Delta T.
Interpretação prática: todo o calor fornecido vai apenas para aumentar a energia interna (ou seja, aumentar a temperatura).

Passo 5

Agora o caso do processo a pressão constante. Nesse caso o gás pode expandir, então realiza trabalho. O trabalho realizado pelo gás numa expansão quasi-estática à pressão constante é
W_{p=\text{const}} = p\,\Delta V.
Usamos a equação de estado dos gases ideais pV=nRT. Diferenciando (ou observando a variação entre estados com mesma p) obtemos
p\,\Delta V = n R \Delta T,
onde R é a constante universal dos gases ( R\approx 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}). Substituindo na primeira lei:
Q_{p} = \Delta U + W = n C_V \Delta T + n R \Delta T = n\bigl(C_V + R\bigr)\Delta T.
Definimos a capacidade térmica molar a pressão constante como
C_p = C_V + R,
logo
Q_{p} = n C_p \Delta T.
Explicação: C_p é maior que C_V porque, além de aumentar a energia interna, parte do calor tem de fornecer a energia para o trabalho de expansão p\Delta V.

Passo 6

Comparando os dois resultados:
Q_{V}=n C_V \Delta T,\qquad Q_{p}=n C_p \Delta T = n\bigl(C_V+R\bigr)\Delta T.
Como R>0, temos C_p>C_V e, para a mesma n e mesma \Delta T,
Q_{p}>Q_{V}.
Intuição física: no processo à pressão constante o gás expande; parte do calor é gasta realizando trabalho contra a pressão externa, então é necessário fornecer mais calor para obter a mesma elevação de temperatura.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar (sem necessidade de calculadora complicada): suponha n=1 mol, \Delta T=1\\ \mathrm{K} e um gás monoatômico ideal com C_V=\tfrac{3}{2}R. Então
Q_{V}=1\cdot\frac{3}{2}R\cdot1=\tfrac{3}{2}R\approx 1{,}5\cdot 8{,}314 \approx 12{,}471\\ \mathrm{J},
Q_{p}=1\cdot\frac{5}{2}R\cdot1=\tfrac{5}{2}R\approx 2{,}5\cdot 8{,}314 \approx 20{,}785\\ \mathrm{J}.
Vê-se claramente que Q_{p} é maior: parte do calor em Q_p foi usada para o trabalho de expansão.

Resposta

É necessário mais calor no processo à pressão constante; Q_{p}=nC_{p}\Delta T e Q_{v}=nC_{v}\Delta T com C_{p}=C_{v}+R, logo Q_{p}>Q_{v}.

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