Cinco moles de um gás ideal monoatômico com uma temperatura inicial de 127^{\circ} \mathrm{C} se expandem e, nesse processo, absorvem 1.500 J de calor e realizam 2.100 J de trabalho. Qual é a temperatura final do gás? Resp: 117^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado dá um processo com um gás ideal monoatômico e pede a temperatura final do gás. Dados fornecidos (vou listar tudo claramente):
\text{quantidade de matéria: } n = 5\\ \text{mol}é
\text{temperatura inicial: } T_i = 127^\circ\mathrm{C}
\text{calor absorvido (pelo gás): } Q = 1\,500\\ \mathrm{J}á
\text{trabalho realizado (pelo gás): } W = 2\,100\\ \mathrm{J}á
O que se pede: achar a temperatura final do gás, T_f.
Observação: os valores numéricos acima vieram do enunciado.

Passo 2

Lembrete físico e sinalização — primeira lei da termodinâmica: a variação da energia interna \Delta U de um sistema é a diferença entre o calor fornecido ao sistema e o trabalho realizado pelo sistema. Em fórmula:
\Delta U = Q - W
Explicação das grandezas:
  • \Delta U é a variação da energia interna, em joules.
  • Q é o calor recebido pelo gás (positivo se o gás absorve calor).
  • W é o trabalho realizado pelo gás (positivo quando o gás faz trabalho sobre o ambiente).
    Aqui temos Q=1\,500\\ \mathrm{J} e W=2\,100\\ \mathrm{J}, então o gás realiza mais trabalho do que o calor que recebe — esperamos uma diminuição da energia interna.

Passo 3

Calculo direto de \Delta U usando a primeira lei:
\Delta U = Q - W = 1\,500 - 2\,100 = -600\\ \mathrm{J}.
Interpretação: a energia interna do gás diminuiu em 600\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Relação entre energia interna e temperatura para um gás ideal monoatômico. A energia interna total de um gás ideal monoatômico é
U = \tfrac{3}{2} n R T,
onde
  • n é o número de mols,
  • R é a constante dos gases ideais ( R = 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}),
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
    Portanto, a variação da energia interna quando a temperatura muda é
\Delta U = \tfrac{3}{2} n R \Delta T,
com \Delta T = T_f - T_i.
Breve explicação de onde vem \tfrac{3}{2}nRT: para um monoatômico cada molécula tem três graus de liberdade (translação nas 3 direções) e cada grau de liberdade contribui com \tfrac{1}{2}k_B T por molécula; multiplicando pelo número de Avogadro dá o fator \tfrac{3}{2}nRT. Aqui só precisamos da fórmula pronta.

Passo 5

Isolando \Delta T na expressão de \Delta U:
\Delta T = \frac{\Delta U}{\tfrac{3}{2} n R} = \frac{2\,\Delta U}{3 n R}.
Substituo os valores numéricos (usando R = 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}):
\Delta T = \frac{2 \cdot (-600)}{3 \cdot 5 \cdot 8,314}.
Faço as operações em partes: o denominador é 3\cdot 5 \cdot 8,314 = 15 \cdot 8,314 = 124,71 (aprox.). O numerador é -1\,200. Então
\Delta T \approx \frac{-1\,200}{124,71} \approx -9,62\\ \mathrm{K}.
Observação sobre unidades: \Delta T em kelvin é numericamente igual à variação em graus Celsius, então uma queda de 9,62\\ \mathrm{K} corresponde a uma queda de 9,62^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Converto a temperatura inicial de Celsius para kelvin para calcular a temperatura final absoluta. Lembre que
T(\mathrm{K}) = T(^\circ\mathrm{C}) + 273,15.
Portanto
T_i = 127 + 273,15 = 400,15\\ \mathrm{K}.
Agora calculo T_f:
T_f = T_i + \Delta T = 400,15 + (-9,62) \approx 390,53\\ \mathrm{K}.
Converto de volta para Celsius:
T_f(^\circ\mathrm{C}) = T_f(\mathrm{K}) - 273,15 \approx 390,53 - 273,15 = 117,38^\circ\mathrm{C}.
Arredondando ao grau mais próximo, obtemos 117^\circ\mathrm{C}, que bate com a resposta dada.

Passo 7

Interpretação final rápida e encorajamento: o gás recebeu 1\,500\\ \mathrm{J} mas fez 2\,100\\ \mathrm{J} de trabalho, logo perdeu energia interna e esfriou cerca de 9,6^\circ\mathrm{C}. Resultado consistente com as fórmulas usadas. Você fez bem vindo até aqui — esse tipo de questão é direto quando lembramos a primeira lei e a expressão de U para gás monoatômico.

Resposta

117^\circ\mathrm{C}

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