Um veículo está a 45 m de um semáforo quando este muda para amarelo. Se o motorista conseguir acionar o freio imediatamente, aplicando uma desaceleração constante de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, a velocidade máxima que o veículo deve estar andando, a fim de que ele pare no semáforo é:
A) 108 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
B) 60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
C) 100 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
D) 80 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
E) 72 \mathrm{~km} / \mathrm{h}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado abaixo.
Dados:
  • Distância até o semáforo: \;45\;\mathrm{m}.
  • Desaceleração constante aplicada imediatamente: \;10\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2 (isto é, aceleração igual a -10\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2 porque é desaceleração).
  • O motorista aciona o freio instantaneamente no instante em que o semáforo muda para amarelo.
Pergunta:
  • Qual é a velocidade máxima em que o veículo pode estar (no momento em que começa a frear) para que ele pare exatamente no semáforo? (Escolhas fornecidas: A) 108\;\mathrm{km}/\mathrm{h}, B) 60\;\mathrm{km}/\mathrm{h}, C) 100\;\mathrm{km}/\mathrm{h}, D) 80\;\mathrm{km}/\mathrm{h}, E) 72\;\mathrm{km}/\mathrm{h}.)

Passo 2

Vamos usar uma relação da cinemática para movimento com aceleração constante que liga velocidades, aceleração e deslocamento sem depender do tempo. A fórmula é:
v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta x
Explicando cada símbolo:
  • \;v é a velocidade final (em \mathrm{m}/\mathrm{s}).
  • \;v_0 é a velocidade inicial (a que queremos achar).
  • \;a é a aceleração constante (em \mathrm{m}/\mathrm{s}^2); se é desaceleração, será negativo.
  • \;\Delta x é o deslocamento na direção do movimento (em \mathrm{m}).
Breve justificativa da fórmula (só para fixar): como a = \dfrac{dv}{dt} e v=\dfrac{dx}{dt}, podemos escrever a = v \dfrac{dv}{dx}. Integrando v\,dv = a\,dx desde a condição inicial até a final obtemos \tfrac{1}{2}(v^2 - v_0^2) = a\Delta x, daí a fórmula acima.
No caso de parar no semáforo, a velocidade final é \;v=0. Substituindo isso na fórmula obtemos:
0 = v_0^2 + 2 a \Delta x.
Isolando v_0^2 teremos:
v_0^2 = -\,2 a \Delta x.
Repare que se a for negativo (desaceleração), o lado direito fica positivo como deve ser para v_0^2.

Passo 3

Agora aplicamos os valores do enunciado. Tomamos a aceleração como \;a=-10\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2 e o deslocamento como \;\Delta x=45\;\mathrm{m}. Então
v_0^2 = -\,2 \cdot (-10)\cdot 45.
Calcule passo a passo:
-2\cdot(-10)=20,
20\cdot 45 = 900,
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v_0^2 = 900.
Tomando raiz quadrada (velocidade positiva):
v_0 = \sqrt{900} = 30\;\mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 4

O enunciado pede a velocidade em \mathrm{km}/\mathrm{h}. A conversão é:
1\;\mathrm{m}/\mathrm{s} = 3{,}6\;\mathrm{km}/\mathrm{h}.
Portanto
v_0 = 30\;\mathrm{m}/\mathrm{s}\times 3{,}6 = 108\;\mathrm{km}/\mathrm{h}.

Resposta

A) 108\;\mathrm{km}/\mathrm{h}

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