Cinco mols de um gás ideal se expandem isotermicamente a 100 Ca cinco vezes o seu volume inicial. Encontre o fluxo de calor para o sistema.
2,5 \times 10^{\wedge} 4 \mathrm{~J}
1.1 \times 10^{\wedge} 4 \mathrm{~J}
6.7 \times 10^{\wedge} 3 \mathrm{~J}
2.9 \times 10^{\wedge} 3 \mathrm{~J}
7,0 \times 10^{\wedge} 2 \mathrm{~J}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dados:
    • Número de mols: n=5.
    • Processo: expansão isotérmica (temperatura constante).
    • Temperatura: 100^\circ\mathrm{C}.
    • A expansão leva o volume final a ser cinco vezes o volume inicial: \dfrac{V_f}{V_i}=5.
  • Pedido:
    • Encontrar o fluxo de calor para o sistema, isto é, o calor Q absorvido (ou cedido) pelo gás durante essa expansão isotérmica.

Passo 2

Entendendo a física básica que precisamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas):
  • Primeiro princípio da termodinâmica (em palavras): a variação da energia interna \Delta U de um sistema é igual ao calor trocado Q com o ambiente menos o trabalho W realizado pelo sistema sobre o ambiente:
    \Delta U = Q - W.
    Aqui Q>0 significa calor entrando no sistema; W>0 significa trabalho realizado pelo sistema sobre o ambiente.
  • Para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura. Em um processo isotérmico (temperatura constante), a variação da energia interna é zero:
    \Delta U = 0.
  • Substituindo \Delta U=0 na primeira lei, obtemos:
    0 = Q - W \quad\Rightarrow\quad Q = W.
    Ou seja: em uma expansão isotérmica de gás ideal, o calor absorvido pelo gás é igual ao trabalho realizado pelo gás.

Passo 3

Expressão do trabalho em uma expansão isotérmica reversível:
  • O trabalho realizado pelo gás ao variar o volume de V_i para V_f é W=\int_{V_i}^{V_f} p\,\mathrm{d}V.
  • Para gás ideal, a equação de estado é pV = nRT,onde p é a pressão, V o volume, n o número de mols, R a constante universal dos gases e T a temperatura absoluta em kelvin. Rearranjando: p=\frac{nRT}{V}.
  • Substituindo na integral: W=\int_{V_i}^{V_f} \frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V = nRT\int_{V_i}^{V_f}\frac{1}{V}\,\mathrm{d}V = nRT\left[\ln V\right]_{V_i}^{V_f}.
  • Portanto: W = nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  • Como vimos no passo anterior, em processo isotérmico de gás ideal Q=W. Então a fórmula que vamos calcular é Q = nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Expliquei cada símbolo:
  • Q: calor trocado (J),
  • n: número de mols (mol),
  • R: constante dos gases (valor numérico R\approx 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}),
  • T: temperatura absoluta (K),
  • \ln é logaritmo natural,
  • V_i e V_f são volumes inicial e final.

Passo 4

Converter a temperatura para kelvin e identificar a razão volumétrica:
  • Temperatura fornecida 100^\circ\mathrm{C}. Conversão para kelvin: T = 100 + 273,15 = 373,15\\ \mathrm{K}.
  • A razão de volumes está dada: \dfrac{V_f}{V_i}=5.

Passo 5

Substituir números na fórmula e calcular passo a passo:
  • Começamos com a fórmula
    Q = nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  • Substituindo n=5, R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}, T=373,15\\ \mathrm{K} e \dfrac{V_f}{V_i}=5:
    Q = 5\times 8,314 \times 373,15 \times \ln(5).
  • Calcular parte por parte.
    1. Calcular \ln(5). Usamos o valor aproximado
      \ln(5) \approx 1,6094379.
    2. Calcular nRT:
      nRT = 5\times 8,314 \times 373,15.
      Primeiro 5\times 8,314 = 41,57.
      Depois 41,57\times 373,15 \approx 15\,511,85\\ \mathrm{J}.
    3. Agora multiplicar por \ln(5):
      Q \approx 15\,511,85\times 1,6094379 \approx 24\,966,8\\ \mathrm{J}.
  • Arredondando de forma prática para correspondência com as alternativas:
    Q \approx 2,5\times 10^{4}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Verificação de sinal e interpretação final:
  • O número obtido Q>0 indica que o gás absorveu calor do ambiente durante a expansão isotérmica (faz sentido: o gás realiza trabalho e para manter a temperatura precisa receber calor).
  • A alternativa que corresponde ao valor calculado é 2,5\times10^{4}\\ \mathrm{J}.

Resposta

2,5\times10^{4}\\ \mathrm{J}

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