Um mastro de alumínio de 8.000 kg e 100 m de comprimento é aquecido pelo sol a uma temperatura de 10 C a 20 C . Encontre o trabalho realizado (em J) pelo alumínio se o coeficiente de expansão linear for 24 \times 10^{\wedge}(-6) (C)^(-1). (A densidade do alumínio é 2,7 \times 10^{\wedge} 3 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3 e 1 \mathrm{~atm}=1,0 \times 10^{\wedge} 5 N/m2.)
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Passo 1

O problema pede: encontrar o trabalho realizado pelo mastro de alumínio quando sua temperatura sobe de 10^\circ\mathrm{C} para 20^\circ\mathrm{C}.
Dados fornecidos:
m = 8000\\ \mathrm{kg} (massa do mastro)
L = 100\\ \mathrm{m} (comprimento, dado mas não necessário diretamente)
\Delta T = 20^\circ\mathrm{C}-10^\circ\mathrm{C}=10^\circ\mathrm{C} (variação de temperatura)
\alpha = 24\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} (coeficiente de dilatação linear)
\rho = 2,7\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m}^{3} (densidade do alumínio)
P_{\text{atm}} = 1,0\times10^{5}\\ \mathrm{N/m}^{2} (pressão atmosférica)

Passo 2

Ideia física que vamos usar (explicação didática): quando um corpo metálico aquece, seu volume aumenta. Para um sólido isotrópico o coeficiente de dilatação volumétrica \beta está relacionado ao coeficiente linear \alpha por
\beta \approx 3\alpha.
Aqui \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1}), que diz quanto cresce uma dimensão linear por grau; \beta é o coeficiente volumétrico (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1}), que diz quanto cresce o volume por grau. O trabalho realizado contra uma pressão externa quase constante P quando o volume aumenta \Delta V é
W = P\,\Delta V.
Explicando as variáveis: W é trabalho em joules, P é pressão em \mathrm{N/m}^2, e \Delta V é mudança de volume em \mathrm{m}^3.

Passo 3

Primeiro achamos o volume inicial do mastro usando massa e densidade:
V = \frac{m}{\rho}.
Substituindo os valores:
V = \frac{8000}{2,7\times10^{3}}\\ \mathrm{m}^{3}.
Fazendo a divisão:
V \approx 2,96296\\ \mathrm{m}^{3}.
(Arredondarei quando necessário, mas guardo precisão suficiente para o resultado final.)

Passo 4

Calculemos o coeficiente volumétrico \beta:
\beta = 3\alpha = 3\times(24\times10^{-6}) = 72\times10^{-6} = 7,2\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Agora a variação de volume para \Delta T=10^\circ\mathrm{C} é aproximadamente
\Delta V = \beta\,V\,\Delta T.
Substituindo:
\Delta V = (7,2\times10^{-5})\times(2,96296)\times(10).
Calcule passo a passo: primeiro (7,2\times10^{-5})\times10 = 7,2\times10^{-4}. Então
\Delta V = 7,2\times10^{-4}\times 2,96296 \approx 0,002134\\ \mathrm{m}^{3}.
Em notação científica \Delta V \approx 2,134\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 5

Agora calculamos o trabalho realizado contra a pressão atmosférica, usando W = P_{\text{atm}}\,\Delta V:
W = (1,0\times10^{5})\times(0,002134)\\ \mathrm{J}.
Multiplicando:
W \approx 213,4\\ \mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente para o valor que aparece nas alternativas, obtemos W \approx 213\\ \mathrm{J}.

Resposta

213\\ \mathrm{J}

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