Cinco rapazes e 5 moças devem posar para uma fotografia, ocupando cinco degraus de uma escadaria, com um casal em cada degrau. De quantas maneiras diferentes podemos arrumar esse grupo para uma foto?

Passo 1

Então, o enunciado diz assim: “Temos 5 rapazes e 5 moças e vamos posar numa escadaria de 5 degraus, formando um casal (um rapaz + uma moça) em cada degrau. De quantas maneiras diferentes isso pode ser feito?”
Conteúdo da matéria: contagem e permutações (princípio multiplicativo).
O que vamos precisar:
  • Entender que deslocar cada grupo independente (rapazes e moças) gera permutações (fatorial).
  • Aplicar o princípio multiplicativo (produtos de escolhas independentes).
  • Levar em conta que, dentro de cada degrau, o casal pode inverter quem fica à esquerda ou à direita (fator 2).

Passo 2

Primeiro vamos pensar nos degraus como “caixinhas” numeradas de 1 a 5. Em cada degrau, precisamos colocar exatamente um rapaz e uma moça.
Como decidir qual rapaz vai para qual degrau?
Pois bem, temos 5 rapazes e 5 degraus DISTINTOS. O número de jeitos de distribuir 5 rapazes nesses 5 degraus é
5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120
Isso porque para o degrau 1 são 5 escolhas de rapaz, depois para o degrau 2 sobram 4, e assim por diante.

Passo 3

Agora, de forma independente, vamos escolher como distribuir as 5 moças nos mesmos 5 degraus. Novamente são 5 moças em 5 degraus distintos, então têm
5! = 120
maneiras também.

Passo 4

Até agora, em cada degrau já temos um rapaz e uma moça posicionados, mas ainda não consideramos quem vai ficar à esquerda e quem vai ficar à direita do degrau. Em cada degrau temos 2 opções (rapaz à esquerda e moça à direita, ou o contrário). São 5 degraus, então isso dá
2 times 2 times 2 times 2 times 2 = 2^5 = 32
maneiras de escolher as orientações dos casais.

Passo 5

Aplicando o princípio multiplicativo (tudo isso são escolhas independentes que se multiplicam), o total fica:
underbrace5!rapazes nos degraus ;times; underbrace5!moças nos degraus ;times; underbrace2^5orientação em cada degrau ;=; (5!)^2 ,2^5 ççã
Substituindo os valores:
5! = 120 Longrightarrow (120)^2 times 32 = 14400 times 32 = 460800

Resposta

460800 maneiras.

Exercícios relacionados