Cinco rapazes e 5 moças devem posar para uma fotografia, ocupando cinco degraus de uma escadaria, com um casal em cada degrau. De quantas maneiras diferentes podemos arrumar esse grupo para uma foto?
Passo 1
Então, o enunciado diz assim: “Temos 5 rapazes e 5 moças e vamos posar numa escadaria de 5 degraus, formando um casal (um rapaz + uma moça) em cada degrau. De quantas maneiras diferentes isso pode ser feito?”
Conteúdo da matéria: contagem e permutações (princípio multiplicativo).
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: contagem e permutações (princípio multiplicativo).
O que vamos precisar:
- Entender que deslocar cada grupo independente (rapazes e moças) gera permutações (fatorial).
- Aplicar o princípio multiplicativo (produtos de escolhas independentes).
- Levar em conta que, dentro de cada degrau, o casal pode inverter quem fica à esquerda ou à direita (fator 2).
Passo 2
Primeiro vamos pensar nos degraus como “caixinhas” numeradas de 1 a 5. Em cada degrau, precisamos colocar exatamente um rapaz e uma moça.
Como decidir qual rapaz vai para qual degrau?
Pois bem, temos 5 rapazes e 5 degraus DISTINTOS. O número de jeitos de distribuir 5 rapazes nesses 5 degraus é
Como decidir qual rapaz vai para qual degrau?
Pois bem, temos 5 rapazes e 5 degraus DISTINTOS. O número de jeitos de distribuir 5 rapazes nesses 5 degraus é
Isso porque para o degrau 1 são 5 escolhas de rapaz, depois para o degrau 2 sobram 4, e assim por diante.
Passo 3
Agora, de forma independente, vamos escolher como distribuir as 5 moças nos mesmos 5 degraus. Novamente são 5 moças em 5 degraus distintos, então têm
maneiras também.
Passo 4
Até agora, em cada degrau já temos um rapaz e uma moça posicionados, mas ainda não consideramos quem vai ficar à esquerda e quem vai ficar à direita do degrau. Em cada degrau temos 2 opções (rapaz à esquerda e moça à direita, ou o contrário). São 5 degraus, então isso dá
maneiras de escolher as orientações dos casais.
Passo 5
Aplicando o princípio multiplicativo (tudo isso são escolhas independentes que se multiplicam), o total fica:
Substituindo os valores:
Resposta
460800 maneiras.