A medida em graus de um ângulo de um polígono regular é um número inteiro. Quantos lados esse polígono pode ter?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que num polígono regular a medida de cada ângulo interno, em graus, tem que ser um número inteiro. Então:
Conteúdo: geometria de polígonos regulares.
O que vamos precisar:
  1. A fórmula da soma dos ângulos internos de um n-gono: .
  2. Calcular cada ângulo interno dividindo essa soma por .
  3. Exigir que isso dê um inteiro, e descobrir para quais isso rola.

Passo 2

Teoria básica:
  • Soma dos ângulos internos de um polígono de S = 180,(n-2)(graus) lados: alpha = Sn = 180,(n-2)n
  • Como é regular, cada ângulo interno vale
Até aqui, só seguimos a definição de polígono regular.

Passo 3

Vamos reorganizar alpha = 180(n-2)n = 180 - 360n :
Para ser inteiro, também tem que ser inteiro. Ou seja, deve ser divisor de 360.

Passo 4

Agora listamos todos os divisores de 360:
360 tem fatoração (3+1)times(2+1)times(1+1)=24 , então tem
1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,18,20,24,30,36,40,45,60,72,90,120,180,360
divisores no total. São:

Passo 5

Como polígono precisa ter pelo menos 3 lados, descartamos e .
Sobram os que dividem 360 e satisfazem .

Resposta

Os valores possíveis de n in 3,4,5,6,8,9,10,12,15,18,20,24,30,36,40,45,60,72,90,120,180,360 são exatamente os divisores de 360 maiores ou iguais a 3, ou seja:
(total de 22 possibilidades)

Exercícios relacionados