A medida em graus de um ângulo de um polígono regular é um número inteiro. Quantos lados esse polígono pode ter?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que num polígono regular a medida de cada ângulo interno, em graus, tem que ser um número inteiro. Então:
Conteúdo: geometria de polígonos regulares.
O que vamos precisar:
Conteúdo: geometria de polígonos regulares.
O que vamos precisar:
- A fórmula da soma dos ângulos internos de um n-gono:
. - Calcular cada ângulo interno dividindo essa soma por
. - Exigir que isso dê um inteiro, e descobrir para quais
isso rola.
Passo 2
Teoria básica:
- Soma dos ângulos internos de um polígono de
lados: - Como é regular, cada ângulo interno vale
Até aqui, só seguimos a definição de polígono regular.
Passo 3
Vamos reorganizar
:
Para
ser inteiro,
também tem que ser inteiro. Ou seja,
deve ser divisor de 360.
Passo 4
Agora listamos todos os divisores de 360:
360 tem fatoração , então tem
360 tem fatoração
divisores no total. São:
Passo 5
Como polígono precisa ter pelo menos 3 lados, descartamos
e
.
Sobram os que dividem 360 e satisfazem
.
Sobram os
Resposta
Os valores possíveis de
são exatamente os divisores de 360 maiores ou iguais a 3, ou seja:
(total de 22 possibilidades)