Uma turma tem aulas às segundas, quartas e sextas, de 13 às 14 h e de 14 h às 15 h . As matérias são matemática, física e química, cada uma com duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito o horário dessa turma?
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz assim: temos uma turma que faz aula segunda, quarta e sexta, sempre em dois horários (13–14 h e 14–15 h). As matérias são Matemática (M), Física (F) e Química (Q), cada uma com exatamente duas aulas por semana, e essas duas não podem ficar no mesmo dia.
Conteúdo: aqui é um problema de contagem / combinatória, mais especificamente permutações com repetição e o princípio da inclusão–exclusão para “tirar” os horários em que uma matéria apareceria duas vezes no mesmo dia.
Conteúdo: aqui é um problema de contagem / combinatória, mais especificamente permutações com repetição e o princípio da inclusão–exclusão para “tirar” os horários em que uma matéria apareceria duas vezes no mesmo dia.
Passo 2
Primeiro a gente conta todas as formas de distribuir M, F e Q nos 6 horários sem preocupar com o “mesmo dia”:
- São 6 horários distintos e precisamos colocar 2 M, 2 F e 2 Q.
- O número de maneiras é a permutação com repetição:
Isso inclui casos em que, por exemplo, as duas M caem na segunda (nos dois horários), o que não vale pra gente.
Passo 3
Agora vamos excluir os casos proibidos: “uma matéria X aparece duas vezes no mesmo dia d”.
– Número de dias (segunda, quarta, sexta).
– Número de matérias .
Se fixo um par (dia , matéria
), obrigamos
a ocupar os 2 horários de
. Sobram 4 horários e 2 matérias com 2 aulas cada, que podem ser arrumadas em
– Número de dias
– Número de matérias
Se fixo um par (dia
formas.
Número total de pares =
dias
matérias = 9.
Logo, somando todos esses “casos ruins” (chamados ):
Número total de pares
Logo, somando todos esses “casos ruins” (chamados
Passo 4
Temos que adicionar de volta as vezes em que excluímos o mesmo arranjo duas vezes (interseção de 2 “casos ruins”).
Para dois pares diferentes e
serem simultaneamente verdadeiros:
Para dois pares diferentes
-
(senão precisaria de 4 aulas de X), -
(senão sobrariam 4 slots num mesmo dia).
Escolhendo um par ordenado:
3 dias para, 3 matérias pra ; depois 2 matérias restantes pra , 2 dias restantes pra .
Total de pares ordenados =. Como a ordem dos pares não importa, temos 36/2 = 18 interseções distintas.
Cada interseção fixa 4 slots (2 de X no dia, 2 de Y no dia ) e deixa só 2 slots para a matéria Z sobrando, que preenche esses 2 slots de um dia.
Então cada interseção dá 1 arranjo, logo
Passo 5
Agora a interseção de 3 “casos ruins”: escolher
,
,
. Para ser possível:
-
são as 3 matérias (todas distintas), -
são os 3 dias (todas distintas).
Isso é uma bijeção matérias↔dias, e háformas de parear cada matéria a um dia.
Em cada caso, cada matéria ocupa os 2 horários do seu dia, sem sobra de slots.
Logo
Passo 6
Aplicando o princípio da inclusão–exclusão:
Resposta
São 48 modos diferentes de montar esse horário.