Uma turma tem aulas às segundas, quartas e sextas, de 13 às 14 h e de 14 h às 15 h . As matérias são matemática, física e química, cada uma com duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito o horário dessa turma?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz assim: temos uma turma que faz aula segunda, quarta e sexta, sempre em dois horários (13–14 h e 14–15 h). As matérias são Matemática (M), Física (F) e Química (Q), cada uma com exatamente duas aulas por semana, e essas duas não podem ficar no mesmo dia.
Conteúdo: aqui é um problema de contagem / combinatória, mais especificamente permutações com repetição e o princípio da inclusão–exclusão para “tirar” os horários em que uma matéria apareceria duas vezes no mesmo dia.

Passo 2

Primeiro a gente conta todas as formas de distribuir M, F e Q nos 6 horários sem preocupar com o “mesmo dia”:
  • São 6 horários distintos e precisamos colocar 2 M, 2 F e 2 Q.
  • O número de maneiras é a permutação com repetição:
6!2!,2!,2! ;=;7202cdot2cdot2 ;=;90
Isso inclui casos em que, por exemplo, as duas M caem na segunda (nos dois horários), o que não vale pra gente.

Passo 3

Agora vamos excluir os casos proibidos: “uma matéria X aparece duas vezes no mesmo dia d”.
– Número de dias 4!2!,2! ;=;6 (segunda, quarta, sexta).
– Número de matérias |S1| ;=;9times 6 ;=;54 .
Se fixo um par (dia , matéria ), obrigamos a ocupar os 2 horários de . Sobram 4 horários e 2 matérias com 2 aulas cada, que podem ser arrumadas em
formas.
Número total de pares = dias matérias = 9.
Logo, somando todos esses “casos ruins” (chamados ):

Passo 4

Temos que adicionar de volta as vezes em que excluímos o mesmo arranjo duas vezes (interseção de 2 “casos ruins”).
Para dois pares diferentes |S2| ;=;18cdot1 ;=;18 e serem simultaneamente verdadeiros:
  • (senão precisaria de 4 aulas de X),
  • (senão sobrariam 4 slots num mesmo dia).
    Escolhendo um par ordenado:
    3 dias para , 3 matérias pra ; depois 2 matérias restantes pra , 2 dias restantes pra .
    Total de pares ordenados = . Como a ordem dos pares não importa, temos 36/2 = 18 interseções distintas.
    Cada interseção fixa 4 slots (2 de X no dia , 2 de Y no dia ) e deixa só 2 slots para a matéria Z sobrando, que preenche esses 2 slots de um dia.
    Então cada interseção dá 1 arranjo, logo

Passo 5

Agora a interseção de 3 “casos ruins”: escolher |S3| ;=;6 , , . Para ser possível:
  • são as 3 matérias (todas distintas),
  • são os 3 dias (todas distintas).
    Isso é uma bijeção matérias↔dias, e há formas de parear cada matéria a um dia.
    Em cada caso, cada matéria ocupa os 2 horários do seu dia, sem sobra de slots.
    Logo

Passo 6

Aplicando o princípio da inclusão–exclusão:
Total válido = 90 ;-; |S1| ;+; |S2| ;-; |S3| = 90 - 54 + 18 - 6 = 48 á

Resposta

São 48 modos diferentes de montar esse horário.

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