A cinética da reação: A+3 B \rightarrow C+2 D, tem a forma -d[B] / d t=k[A][B][C]^{-1}. Expresse a lei de velocidade da reação em termos da velocidade da reação. Quais as unidades de k ?.

Passo 1

O enunciado dá a reação \mathrm{A} + 3\,\mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C} + 2\,\mathrm{D} e a lei de velocidade na forma
-\frac{d[\mathrm{B}]}{dt} = k\,[\mathrm{A}]\,[\mathrm{B}]\,[\mathrm{C}]^{-1}.
As perguntas são:
  1. Expressar a lei de velocidade em termos da velocidade (taxa) da reação v.
  2. Determinar as unidades de k.
    Informações relevantes: coeficientes estequiométricos (1 para \mathrm{A}, 3 para \mathrm{B}, 1 para \mathrm{C}, 2 para \mathrm{D}) e a expressão dada para -d[\mathrm{B}]/dt.

Passo 2

Definição prática da velocidade da reação v (modo que vamos usar): para a reação a\mathrm{A}+b\mathrm{B}\to c\mathrm{C}+d\mathrm{D} define-se
v = -\frac{1}{a}\frac{d[\mathrm{A}]}{dt} = -\frac{1}{b}\frac{d[\mathrm{B}]}{dt} = \frac{1}{c}\frac{d[\mathrm{C}]}{dt} = \frac{1}{d}\frac{d[\mathrm{D}]}{dt}.
Explicação curta e didática: a velocidade v mede a “velocidade da reação” por unidade da estequiometria. Para reagentes o sinal é negativo (concentração diminui), por isso o menos; para produtos é positivo (concentração aumenta). O fator 1/coeficiente ajusta para que todas as expressões dêem a mesma v.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso específico \mathrm{A}+3\mathrm{B}\to\cdots, obtemos as relações:
\frac{d[\mathrm{A}]}{dt} = -v,\qquad \frac{d[\mathrm{B}]}{dt} = -3v,\qquad \frac{d[\mathrm{C}]}{dt} = v,\qquad \frac{d[\mathrm{D}]}{dt} = 2v.
Em particular, isolando -d[\mathrm{B}]/dt,
-\frac{d[\mathrm{B}]}{dt} = 3v.
Comentário amigável: aqui aparece o 3 porque cada vez que a reação ocorre uma molécula de reação consome 3 unidades de \mathrm{B}.

Passo 4

Agora use a expressão dada no enunciado para -d[\mathrm{B}]/dt. Como sabemos que -d[\mathrm{B}]/dt = 3v, igualamos:
3v = k\,[\mathrm{A}]\,[\mathrm{B}]\,[\mathrm{C}]^{-1}.
Daí isolamos v:
v = \frac{k}{3}\,[\mathrm{A}]\,[\mathrm{B}]\,[\mathrm{C}]^{-1}.
Isto responde a primeira parte: a lei de velocidade em termos da velocidade da reação é essa. Dica para a prova: sempre relacione a derivada de uma concentração ao v através da estequiometria, aí fica fácil substituir.

Passo 5

Agora encontramos as unidades de k por análise dimensional. Primeiro, a unidade de taxa -d[\mathrm{B}]/dt é unidade de concentração por tempo, comumente \mathrm{mol\,L^{-1}\,s^{-1}} (ou \mathrm{M\,s^{-1}}). Escrevendo apenas as dimensões:
\text{[taxa]} = \mathrm{M}\,\mathrm{T}^{-1},
onde \mathrm{M} representa concentração (mol L ^{-1}) e \mathrm{T} tempo (s).

Passo 6

A expressão do enunciado é
-\frac{d[\mathrm{B}]}{dt} = k\,[\mathrm{A}]\,[\mathrm{B}]\,[\mathrm{C}]^{-1}.
Dimensionalmente, o lado direito tem unidade \text{[}k\text{]}\times [\mathrm{A}]\times[\mathrm{B}]\times[\mathrm{C}]^{-1}. Como cada concentração tem dimensão \mathrm{M}, o produto [\mathrm{A}][\mathrm{B}][\mathrm{C}]^{-1} tem dimensão
\mathrm{M}\times\mathrm{M}\times\mathrm{M}^{-1} = \mathrm{M}.
Portanto o lado direito tem dimensão \text{[}k\text{]}\times \mathrm{M}.

Passo 7

Igualando as dimensões dos dois lados, temos
\text{[}k\text{]}\times \mathrm{M} = \mathrm{M}\,\mathrm{T}^{-1}.
Cancelando \mathrm{M} em ambos os lados resulta
\text{[}k\text{]} = \mathrm{T}^{-1}.
Em unidades do SI isso é \mathrm{s}^{-1}. Comentário final: a soma dos expoentes na lei de velocidade é 1+1-1=1 (ordem global 1), então é esperado que k tenha unidades de tempo^{-1}.

Resposta

v = \dfrac{k}{3}\,[\mathrm{A}]\,[\mathrm{B}]\,[\mathrm{C}]^{-1}.\n
\text{Unidades de }k: \mathrm{s}^{-1}.

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