A cinética da reação: 2 A+B \rightarrow 2 C+3 D, tem a forma d[C] / d t=k[A][B][C]. Expresse a lei de velocidade da reação em termos da velocidade da reação. Quais as unidades de k ?

Passo 1

O enunciado dá a reação \,2A + B \rightarrow 2C + 3D\, e informa a lei experimental
\frac{d[C]}{dt} = k\,[A]\,[B]\,[C].
As perguntas são:
  1. Expressar a lei de velocidade em termos da velocidade (ou taxa) da reação.
  2. Determinar as unidades de k.
Informações relevantes dadas:
  • Este é o balanço estequiométrico: coeficientes estequiométricos 2 para A, 1 para B, 2 para C e 3 para D.
  • A derivada \frac{d[C]}{dt} está ligada à velocidade global da reação por relações estequiométricas.
  • A lei dada relaciona a variação de [C] com as concentrações [A], [B] e [C] e a constante k.

Passo 2

Definimos claramente o que é a velocidade (taxa) da reação. Para uma reação genérica
\alpha A + \beta B \rightarrow \gamma C + \delta D,
uma definição usual da velocidade escalar da reação v é
v = \frac{1}{\gamma}\,\frac{d[C]}{dt} = -\frac{1}{\alpha}\,\frac{d[A]}{dt} = -\frac{1}{\beta}\,\frac{d[B]}{dt} = \frac{1}{\delta}\,\frac{d[D]}{dt}.
Expliquei isso: escolhemos dividir a variação temporal da concentração de cada espécie pelo seu coeficiente estequiométrico (com sinal negativo para reagentes, porque suas concentrações diminuem). Assim v é uma única quantidade positiva que representa a velocidade da transformação química por unidade de estequiometria.

Passo 3

Aplique essa definição ao nosso caso. Para \,2A + B \rightarrow 2C + 3D\, o coeficiente de C é \gamma=2. Logo, pela definição
v = \frac{1}{2}\,\frac{d[C]}{dt}.
Aqui estou apenas usando a fórmula anterior com \gamma=2.

Passo 4

Substitua a expressão dada para \frac{d[C]}{dt} na relação para v. Como
\frac{d[C]}{dt} = k\,[A]\,[B]\,[C],
temos
v = \frac{1}{2}\,k\,[A]\,[B]\,[C].
Pronto — essa é a lei de velocidade escrita em termos da velocidade (taxa) da reação v.

Passo 5

Para fixar a ideia, mostro as relações entre as derivadas das outras concentrações e v. Usando a definição estequiométrica:
\frac{d[A]}{dt} = -2v,\qquad \frac{d[B]}{dt} = -1\cdot v,\qquad \frac{d[D]}{dt} = 3v.
Substituindo v=\tfrac{1}{2}k[A][B][C] obtemos explicitamente:
\frac{d[A]}{dt} = -2\cdot\frac{1}{2}k[A][B][C] = -k[A][B][C],
\frac{d[B]}{dt} = -1\cdot\frac{1}{2}k[A][B][C] = -\frac{1}{2}k[A][B][C],
\frac{d[D]}{dt} = 3\cdot\frac{1}{2}k[A][B][C] = \frac{3}{2}k[A][B][C].
Essas contas verificam a consistência entre a lei dada para \frac{d[C]}{dt} e as variações das demais espécies.

Passo 6

Agora as unidades de k. A unidade de uma taxa de variação de concentração é concentração/tempo. Se usarmos concentração em mol por litro ( \mathrm{mol\,L^{-1}}) e tempo em segundos ( \mathrm{s}), então
\left[\frac{d[C]}{dt}\right] = \mathrm{mol\,L^{-1}\,s^{-1}}.
A lei dada é \frac{d[C]}{dt} = k\,[A]\,[B]\,[C]. Cada concentração tem unidade \mathrm{mol\,L^{-1}}, e há três concentrações multiplicadas, logo [A][B][C] tem unidade \mathrm{mol^{3}\,L^{-3}}. Assim a unidade de k satisfaz
[k] = \frac{[\frac{d[C]}{dt}]}{[A][B][C]} = \frac{\mathrm{mol\,L^{-1}\,s^{-1}}}{\mathrm{mol^{3}\,L^{-3}}}.
Fazendo a divisão de unidades obtemos
[k] = \mathrm{L^{2}\,mol^{-2}\,s^{-1}}.
Outra forma usual de escrever isso é \mathrm{M^{-2}\,s^{-1}} (onde \mathrm{M} significa mol·L^{-1}).

Resposta

v=\dfrac{1}{2}\,k\,[A]\,[B]\,[C]
Unidades de k: \mathrm{L^{2}\,mol^{-2}\,s^{-1}} (equivalente a \mathrm{M^{-2}\,s^{-1}}).

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