Cinquenta e cinco por cento dos adultos dizem que preferem a castanha de caju. Você seleciona, aleatoriamente, 12 adultos e pergunta qual seria o tipo de castanha que eles mais gostam. Encontre a probabilidade do número dos amantes das castanhas de caju ser: ( 2 pontos)
a) exatamente três.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente sabe que 55% dos adultos preferem castanha de caju. Agora, imaginando que você seleciona 12 adultos aleatoriamente, a pergunta é: qual é a probabilidade de exatamente 3 desses 12 preferirem castanha de caju?
Aqui, vamos usar o conceito de Distribuição Binomial, que é útil quando lidamos com situações de “sucesso ou fracasso” repetidas vezes, como no nosso caso: cada adulto pode ou preferir castanha de caju (sucesso) ou não (fracasso).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros que precisamos para a fórmula da distribuição binomial:
  • n = número de tentativas (no caso, 12 adultos)
  • p = probabilidade de sucesso em cada tentativa (55%, ou 0.55)
  • k = número de sucessos que queremos (exatamente 3 adultos)

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde binomnk é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.

Passo 4

Vamos calcular cada parte passo a passo:
  1. Coeficiente binomial:
    binom123 = 12!3!(12 - 3)! = 12 times 11 times 103 times 2 times 1 = 220
  2. Probabilidade de sucesso elevado a k:
    p^k = 0.55^3 approx 0.166375
  3. Probabilidade de fracasso elevado a (n - k):
    (1 - p)^n - k = 0.45^9 approx 0.001966

Passo 5

Agora, juntando tudo na fórmula:
P(X = 3) = 220 times 0.166375 times 0.001966 approx 0.072

Resposta

A probabilidade de exatamente três dos 12 adultos preferirem castanha de caju é aproximadamente 7,2%.

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