Cinquenta e cinco por cento dos adultos dizem que preferem a castanha de caju. Você seleciona, aleatoriamente, 12 adultos e pergunta qual seria o tipo de castanha que eles mais gostam. Encontre a probabilidade do número dos amantes das castanhas de caju ser: ( 2 pontos)
b) no mínimo quatro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que 55% dos adultos preferem castanha de caju. A gente vai tirar 12 adultos aleatórios e quer saber a probabilidade de pelo menos 4 deles gostarem de castanha de caju. Para resolver isso, vamos usar a probabilidade binomial, que é ótima para calcular a chance de um certo número de sucessos em experimentos repetidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma probabilidade binomial. É usada quando temos um número fixo de tentativas (no caso, 12 adultos), cada tentativa tem dois resultados possíveis (gostar ou não de castanha de caju), e a probabilidade de sucesso (gostar) é a mesma em cada tentativa (55% ou 0,55).

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ P(k) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ sucessos.
  • $ C(n, k) $ é a combinação de $ n $ elementos tomados $ k $ a $ k $.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma tentativa.
  • $ n $ é o número total de tentativas.

Passo 4

Como queremos a probabilidade de pelo menos 4 adultos gostarem de castanha de caju, podemos calcular isso de duas maneiras:
  1. Somar as probabilidades de 4 a 12 sucessos.
  2. Calcular 1 menos a probabilidade de ter menos de 4 sucessos (ou seja, 0 a 3).
Vamos usar a segunda abordagem porque é mais fácil.

Passo 5

Vamos calcular $ P(X \geq 4) = 1 - P(X < 4) = 1 - [P(0) + P(1) + P(2) + P(3)] $.

Passo 6

Agora, vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula binomial:
  • Para $ k = 0 $:
k = 0
  • Para $ k = 1 $:
P(0) = C(12, 0) times 0,55^0 times 0,45^12 = 1 times 1 times 0,45^12
  • Para $ k = 2 $:
k = 1
  • Para $ k = 3 $:
P(1) = C(12, 1) times 0,55^1 times 0,45^11 = 12 times 0,55 times 0,45^11

Passo 7

Depois de calcular cada uma dessas probabilidades, somamos todas elas:
P(X < 4) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3)

Passo 8

Finalmente, subtraímos essa soma de 1 para encontrar a probabilidade de pelo menos 4 adultos preferirem castanha de caju:
P(X >= 4) = 1 - P(X < 4)

Resposta

A probabilidade de pelo menos quatro dos 12 adultos preferirem castanha de caju é aproximadamente 0,952 ou 95,2%.

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