Cinquenta e cinco por cento dos adultos dizem que preferem a castanha de caju. Você seleciona, aleatoriamente, 12 adultos e pergunta qual seria o tipo de castanha que eles mais gostam. Encontre a probabilidade do número dos amantes das castanhas de caju ser: ( 2 pontos)
b) no mínimo quatro.
b) no mínimo quatro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que 55% dos adultos preferem castanha de caju. A gente vai tirar 12 adultos aleatórios e quer saber a probabilidade de pelo menos 4 deles gostarem de castanha de caju. Para resolver isso, vamos usar a probabilidade binomial, que é ótima para calcular a chance de um certo número de sucessos em experimentos repetidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma probabilidade binomial. É usada quando temos um número fixo de tentativas (no caso, 12 adultos), cada tentativa tem dois resultados possíveis (gostar ou não de castanha de caju), e a probabilidade de sucesso (gostar) é a mesma em cada tentativa (55% ou 0,55).
Passo 3
A fórmula da probabilidade binomial é:
Onde:
- $ P(k) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ sucessos.
- $ C(n, k) $ é a combinação de $ n $ elementos tomados $ k $ a $ k $.
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma tentativa.
- $ n $ é o número total de tentativas.
Passo 4
Como queremos a probabilidade de pelo menos 4 adultos gostarem de castanha de caju, podemos calcular isso de duas maneiras:
- Somar as probabilidades de 4 a 12 sucessos.
- Calcular 1 menos a probabilidade de ter menos de 4 sucessos (ou seja, 0 a 3).
Vamos usar a segunda abordagem porque é mais fácil.
Passo 5
Vamos calcular $ P(X \geq 4) = 1 - P(X < 4) = 1 - [P(0) + P(1) + P(2) + P(3)] $.
Passo 6
Agora, vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula binomial:
- Para $ k = 0 $:
- Para $ k = 1 $:
- Para $ k = 2 $:
- Para $ k = 3 $:
Passo 7
Depois de calcular cada uma dessas probabilidades, somamos todas elas:
Passo 8
Finalmente, subtraímos essa soma de 1 para encontrar a probabilidade de pelo menos 4 adultos preferirem castanha de caju:
Resposta
A probabilidade de pelo menos quatro dos 12 adultos preferirem castanha de caju é aproximadamente 0,952 ou 95,2%.