Considere um alfabeto com n letras. Uma palavra de 3 letras deste alfabeto foi escolhida ao acaso (com reposição), e seja L uma letra deste alfabeto. Considere os seguintes eventos:
A= palavra escolhida começa com L
B= palavra escolhida tem a letra L no meio.
C= palavra escolhida tem exatamente duas letras iguais.
(b) Defina uma probabilidade em (Omega, A) considerando que as letras do alfabeto são escolhidas com mesma probabilidade.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre um alfabeto com n letras e uma palavra de 3 letras escolhida ao acaso, com reposição. Queremos definir uma probabilidade no espaço amostral (Omega, A), sabendo que todas as letras têm a mesma chance de serem escolhidas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço amostral, a sigma-álgebra e como atribuir probabilidades iguais a cada evento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o espaço amostral Omega. Como estamos escolhendo uma palavra de 3 letras com reposição, cada posição na palavra pode ter qualquer uma das n letras. Isso significa que o número total de possíveis palavras é n times n times n = n^3. Portanto, Omega é o conjunto de todas as possíveis combinações de 3 letras, ou seja:
Omega = (a, b, c) mid a, b, c in alfabeto

Passo 3

Agora, vamos definir a sigma-álgebra A. Em probabilidade, a sigma-álgebra é o conjunto de todos os eventos que podemos considerar. No nosso caso, como todas as combinações são possíveis e estamos trabalhando com um espaço finito, a sigma-álgebra será o conjunto das partes de Omega, ou seja, A = 2^Omega.

Passo 4

Com o espaço amostral e a sigma-álgebra definidos, precisamos atribuir probabilidades a cada evento. Como as letras são escolhidas com a mesma probabilidade e as escolhas são independentes, cada palavra tem a mesma chance de ser escolhida. A probabilidade de cada palavra individual é então:
P(omega) = 1|Omega| = 1n^3
para todo omega in Omega.

Passo 5

Finalmente, para qualquer evento A in A, que é um conjunto de palavras, a probabilidade de A ocorrer é a soma das probabilidades de todas as palavras que pertencem a A. Ou seja:
P(A) = sumomega in A P(omega) = |A|n^3
onde |A| representa o número de palavras no evento A.

Resposta

A probabilidade definida no espaço (Omega, A), considerando que todas as letras têm a mesma probabilidade, é dada por:
P(A) = |A|n^3
para qualquer evento A subseteq Omega.

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