Considere um alfabeto com
letras. Uma palavra de 3 letras deste alfabeto foi escolhida ao acaso (com reposição), e seja
uma letra deste alfabeto. Considere os seguintes eventos:
palavra escolhida começa com
palavra escolhida tem a letra
no meio.
palavra escolhida tem exatamente duas letras iguais.
(b) Defina uma probabilidade em
considerando que as letras do alfabeto são escolhidas com mesma probabilidade.
(b) Defina uma probabilidade em
Passo 1
Então, vamos lá! A questão fala sobre um alfabeto com
letras e uma palavra de 3 letras escolhida ao acaso, com reposição. Queremos definir uma probabilidade no espaço amostral
, sabendo que todas as letras têm a mesma chance de serem escolhidas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço amostral, a sigma-álgebra e como atribuir probabilidades iguais a cada evento.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o espaço amostral
. Como estamos escolhendo uma palavra de 3 letras com reposição, cada posição na palavra pode ter qualquer uma das
letras. Isso significa que o número total de possíveis palavras é
. Portanto,
é o conjunto de todas as possíveis combinações de 3 letras, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos definir a sigma-álgebra
. Em probabilidade, a sigma-álgebra é o conjunto de todos os eventos que podemos considerar. No nosso caso, como todas as combinações são possíveis e estamos trabalhando com um espaço finito, a sigma-álgebra será o conjunto das partes de
, ou seja,
.
Passo 4
Com o espaço amostral e a sigma-álgebra definidos, precisamos atribuir probabilidades a cada evento. Como as letras são escolhidas com a mesma probabilidade e as escolhas são independentes, cada palavra tem a mesma chance de ser escolhida. A probabilidade de cada palavra individual é então:
para todo
.
Passo 5
Finalmente, para qualquer evento
, que é um conjunto de palavras, a probabilidade de
ocorrer é a soma das probabilidades de todas as palavras que pertencem a
. Ou seja:
onde
representa o número de palavras no evento
.
Resposta
A probabilidade definida no espaço
, considerando que todas as letras têm a mesma probabilidade, é dada por:
para qualquer evento
.