Cíntia tem de pagar uma compra de
35,00
\mathrm{R} $1,00
\mathrm{R} $ 5,00 . De quantos modos distintos poderá fazer o pagamento?
Passo 1
O enunciado diz que Cíntia tem de pagar
e só dispõe de moedas de
e notas de
. A pergunta é: de quantos modos distintos ela pode fazer o pagamento?
Informações relevantes: o total a pagar é ; podemos usar qualquer quantidade (incluindo zero) de moedas de
e notas de
; duas formas que diferem apenas pela ordem das moedas/notas são consideradas a mesma forma (importa apenas quantas de cada valor).
Informações relevantes: o total a pagar é
Passo 2
Vamos traduzir isso para uma equação com incógnitas inteiras. Seja
o número de moedas de
e
o número de notas de
. O valor total pago é a soma de
real vezes
e
reais vezes
. Assim obtemos a equação
com a restrição de que
e
são números inteiros não-negativos (
). Explico: cada solução inteira não-negativa
representa uma maneira distinta de pagar (quantidade de moedas de
e de notas de
).
Passo 3
Isolamos
em função de
para ver quais valores de
são possíveis:
Para que
seja um inteiro não-negativo precisamos ter
. Isso implica
Também precisamos de
. Portanto
pode ser qualquer inteiro de
Não há condição adicional de congruência porque
e
são inteiros; o valor de
resultante é automaticamente inteiro para esses
.
Passo 4
Cada valor de
dá um valor correspondente de
. Vamos listar as soluções (cada par
é uma forma de pagar):
São
pares distintos, logo
maneiras diferentes de pagar.
Passo 5
Comentário didático geral (truque útil para a prova): quando você tem um montante
e moedas de
e de
unidades, as formas distintas de pagar correspondem aos valores possíveis de
entre
e
. O número de maneiras é então
No nosso caso
,
,
, portanto
. Esse é um método rápido para questões parecidas na prova.