Cíntia tem de pagar uma compra de \mathrm{R} \ 35,00 e dispõe de moedas deõ\mathrm{R} $1,00 e de notas de\mathrm{R} $ 5,00 . De quantos modos distintos poderá fazer o pagamento?

Passo 1

O enunciado diz que Cíntia tem de pagar \mathrm{R}\$\,35,00 e só dispõe de moedas de \mathrm{R}\$\,1,00 e notas de \mathrm{R}\$\,5,00. A pergunta é: de quantos modos distintos ela pode fazer o pagamento?
Informações relevantes: o total a pagar é \mathrm{R}\$\,35,00; podemos usar qualquer quantidade (incluindo zero) de moedas de \mathrm{R}\$\,1,00 e notas de \mathrm{R}\$\,5,00; duas formas que diferem apenas pela ordem das moedas/notas são consideradas a mesma forma (importa apenas quantas de cada valor).

Passo 2

Vamos traduzir isso para uma equação com incógnitas inteiras. Seja \,x o número de moedas de \mathrm{R}\$\,1,00 e \,y o número de notas de \mathrm{R}\$\,5,00. O valor total pago é a soma de 1 real vezes x e 5 reais vezes y. Assim obtemos a equação
x + 5y = 35,
com a restrição de que \,x e \,y são números inteiros não-negativos ( x\ge 0,\;y\ge 0). Explico: cada solução inteira não-negativa (x,y) representa uma maneira distinta de pagar (quantidade de moedas de 1 e de notas de 5).

Passo 3

Isolamos x em função de y para ver quais valores de y são possíveis:
x = 35 - 5y.
Para que x seja um inteiro não-negativo precisamos ter 35 - 5y \ge 0. Isso implica
5y \le 35 \quad\Rightarrow\quad y \le 7.
Também precisamos de y\ge 0. Portanto y pode ser qualquer inteiro de
y\in\{0,1,2,3,4,5,6,7\}.
Não há condição adicional de congruência porque 35 e 5y são inteiros; o valor de x resultante é automaticamente inteiro para esses y.

Passo 4

Cada valor de y dá um valor correspondente de x. Vamos listar as soluções (cada par (x,y) é uma forma de pagar):
\begin{aligned} y=0 &\Rightarrow x=35,\\\ y=1 &\Rightarrow x=30,\\\ y=2 &\Rightarrow x=25,\\\ y=3 &\Rightarrow x=20,\\\ y=4 &\Rightarrow x=15,\\\ y=5 &\Rightarrow x=10,\\\ y=6 &\Rightarrow x=5,\\\ y=7 &\Rightarrow x=0. \end{aligned}
São 8 pares distintos, logo 8 maneiras diferentes de pagar.

Passo 5

Comentário didático geral (truque útil para a prova): quando você tem um montante N e moedas de 1 e de k unidades, as formas distintas de pagar correspondem aos valores possíveis de y entre 0 e \left\lfloor \dfrac{N}{k}\right\rfloor. O número de maneiras é então
\left\lfloor \dfrac{N}{k}\right\rfloor + 1.
No nosso caso N=35, k=5, \left\lfloor 35/5\right\rfloor=7, portanto 7+1=8. Esse é um método rápido para questões parecidas na prova.

Resposta

8

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