Determine duas soluções de cada uma das equações seguintes:
(d) x_{1}+2 x_{2}+5 x_{3}=16

Passo 1

O enunciado dá a equação linear em três incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3}\,:
x_{1}+2x_{2}+5x_{3}=16.
Pede-se: “determinar duas soluções” — ou seja, encontrar dois triplets (x_{1},x_{2},x_{3}) distintos que satisfaçam essa equação. As informações relevantes são apenas a própria equação e as três incógnitas.

Passo 2

Observação didática: uma equação linear única com três incógnitas normalmente tem infinitas soluções, porque temos mais incógnitas do que equações. A ideia prática para gerar soluções é escolher valores para duas variáveis (chamadas variáveis livres) e calcular a terceira a partir da equação. Vamos isolar x_{1} para ver a fórmula geral:
x_{1}=16-2x_{2}-5x_{3}.
Aqui x_{2} e x_{3} são parâmetros livres que podemos fixar arbitrariamente (qualquer número real), e então calculamos x_{1} pela fórmula acima.

Passo 3

Primeira solução: escolher valores simples para os parâmetros, por exemplo x_{2}=0 e x_{3}=0. Substituindo na fórmula de x_{1}:
x_{1}=16-2\cdot 0-5\cdot 0=16.
Logo obtemos a solução (x_{1},x_{2},x_{3})=(16,0,0). Verificação rápida: 16+2\cdot 0+5\cdot 0=16, ok.

Passo 4

Segunda solução: escolher outros valores para os parâmetros, por exemplo x_{2}=1 e x_{3}=2. Calcule x_{1}:
x_{1}=16-2\cdot 1-5\cdot 2=16-2-10=4.
Portanto outra solução é (x_{1},x_{2},x_{3})=(4,1,2). Verificação: 4+2\cdot 1+5\cdot 2=4+2+10=16, ok.

Passo 5

Resumo didático final: a família completa de soluções é dada por
(x_{1},x_{2},x_{3})=\bigl(16-2x_{2}-5x_{3},\;x_{2},\;x_{3}\bigr),
com x_{2},x_{3} livres. Das infinitas soluções dessa família escolhemos as duas acima por serem simples e fáceis de conferir.

Resposta

(16,0,0)
(4,1,2)

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