8^circ ) Através da definição precisa de limite, prove que o limite existe.
lim x -2 3 x+1=-5

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição precisa de limite, que para a função
f(x)=3x+1
temos
limxto -2f(x)=-5
O conteúdo é o uso da definição varepsilon de<a para limites de funções.

Passo 2

Recordando a definição: devemos mostrar que, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que
0<|x-(-2)|<de<a Longrightarrow l|f(x)-(-5)r|<varepsilon

Passo 3

Começamos calculando a diferença entre f(x) e -5:
l|f(x)-(-5)r| = l|3x+1+5r| = l|3x+6r| = 3,|x+2|

Passo 4

Para forçar 3,|x+2|<varepsilon, basta escolher de<a de forma que
|x+2|<de<a Longrightarrow 3,|x+2|<3de<a<=varepsilon
Logo, basta tomar
de<a=varepsilon3

Passo 5

Com essa escolha, sempre que 0<|x+2|<de<a temos
l|f(x)-(-5)r|=3,|x+2|<3de<a=3cdotvarepsilon3=varepsilon
Isto completa a prova de que
limxto -2(3x+1)=-5

Resposta

Tomando de<a=varepsilon/3, verifica-se a definição varepsilon de<a, logo o limite existe e vale -5.
boxedlimxto -2(3x+1)=-5

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