8^circ ) Através da definição precisa de limite, prove que o limite existe.
lim x -4 x^2+8 x+16=0, varepsilon=0,25

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição precisa de limite, que
limxto -4l(x^2+8x+16r)=0
para varepsilon=0,25.
Na prática, temos f(x)=x^2+8x+16 e queremos mostrar que existe de<a>0 tal que
0<|x-(-4)|<de<a Longrightarrow |f(x)-0|<0,25

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão f(x)-0. Observe que
x^2+8x+16=(x+4)^2,
logo em módulo
|f(x)-0|=|x^2+8x+16|=|(x+4)^2|=|x+4|^2

Passo 3

Queremos garantir
|x+4|^2<0,25
Isso equivale a
|x+4|<raiz0,25=0,5
Portanto, basta escolher
de<a=0,5

Passo 4

Agora verificamos a definição: se
0<|x-(-4)|=|x+4|<de<a=0,5,
então
|f(x)-0|=|x+4|^2<(,0,5,)^2=0,25=varepsilon
Isso mostra que, para varepsilon=0,25, existe de<a=0,5 que satisfaz a condição da definição de limite.

Resposta

Basta tomar de<a=0,5.

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