Encontre os extremos da função f(x, y, z)=x y+y z sujeitos as condições x^2+y^2=2 e y z=2.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo aplicado
Temos a função
f(x,y,z) = x y + y z
com duas restrições
g1(x,y,z) = x^2 + y^2 - 2 = 0, g2(x,y,z) = y z - 2 = 0
O método de Lagrange nos diz para resolver
nabla f = lambda1 nabla g1 + lambda2 nabla g2
juntamente com as equações g1=0 e g2=0.

Passo 2

Escrevendo os gradientes e as equações de Lagrange
Calculamos
nabla f = (,partialx f,partialy f,partialz f) = (,y,;x+z,;y),
nabla g1 = (2x,2y,0), nabla g2 = (0,z,y)
As equações nabla f = lambda1nabla g1+lambda2nabla g2 dão o sistema
y = 2lambda1 x, tag1
x+z = 2lambda1 y + lambda2,z, tag2
y = lambda2,y tag3
Junto com as restrições
x^2 + y^2 = 2, tag4
y z = 2 tag5

Passo 3

Analisando a equação y=lambda2 y
Da equação (3) temos
y,(1-lambda2) = 0
Como y=0 violaria y z=2, concluímos lambda2 = 1.
Substituindo lambda2=1 em (1) e (2):
lambda1 = y2x, x+z = 2lambda1 y + z ;Rightarrow; x = y^2x ;Rightarrow; x^2 = y^2 ;Rightarrow; x=pm y

Passo 4

Encontrando os pontos críticos e valores de f
Caso A: x = y.
Da restrição x^2+y^2=2 vem 2x^2=2, logo x=pm1 e y=x.
De yz=2 segue z=2/y=2/x.
Pontos:
(1,1,2) e (-1,-1,-2).
Em cada um
f = xy + yz = x^2 + xz = 1 + xcdot2x = 3
Caso B: x = -y.
De 2x^2=2 vem x=pm1, y=-x, e z=2/y=-2/x.
Pontos:
(1,-1,-2) e (-1,1,2).
Em cada um
f = xy + yz = -1 + ycdot z = -1 + l(-xr)cdotl(-2xr) = 1

Passo 5

Classificando extremos
Os pontos em que f=3 são máximos (não há valor maior) e os pontos em que f=1 são mínimos (não há valor menor) sob as restrições dadas.

Resposta

Máximos:
(1,1,2) e (-1,-1,-2) com f=3.
Mínimos:
(1,-1,-2) e (-1,1,2) com f=1.

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