Avalie a integral.
x)
.
x)
Passo 1
Na questão precisamos calcular a integral de 1 até √3 de
em relação a x. O conteúdo aqui é integração por partes, e também vamos usar a derivada de
com regra da cadeia.
Passo 2
Para aplicar integração por partes escolhemos
u como a parte que complica a derivada e dv como o restante. Então definimos
e
.
A partir disso temos
. Usando a regra da cadeia,
.
E a primitiva de é
.
u como a parte que complica a derivada e dv como o restante. Então definimos
A partir disso temos
E a primitiva de
Passo 3
A fórmula de integração por partes diz
Substituindo nossos u, v e du,
Passo 4
Para resolver
fazemos a substituição
, logo
. Assim
Portanto uma antiderivada é
Passo 5
Agora avaliamos de 1 a
:
Subtraindo:
$$\int_{1}^{\sqrt3}\arctan\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)dx=\Bigl(\frac{\pi\sqrt3}{6}+\ln2\Bigr)-\Bigl(\frac{\pi}{4}+\tfrac{1}{2}\ln2\Bigr)
=\frac{\pi(2\sqrt3-3)}{12}+\tfrac{1}{2}\ln2.$$