circ Avalie a integral.
x) integral1^raiz3 arctan (1 / x) d x.

Passo 1

Na questão precisamos calcular a integral de 1 até √3 de arctan(1/x) em relação a x. O conteúdo aqui é integração por partes, e também vamos usar a derivada de arctan(u) com regra da cadeia.

Passo 2

Para aplicar integração por partes escolhemos
u como a parte que complica a derivada e dv como o restante. Então definimos
u=arctanl(tfrac1xr) e dv=dx.
A partir disso temos
du=ddxl[arctan(1/x)r]dx. Usando a regra da cadeia,
du=-1x^2+1,dx.
E a primitiva de dv=dx é v=x.

Passo 3

A fórmula de integração por partes diz
integral u,dv = u,v - integral v,du
Substituindo nossos u, v e du,
integral arctanl(tfrac1xr)dx = xarctanl(tfrac1xr) - integral xl(-1x^2+1r)dx = xarctanl(tfrac1xr) + integral xx^2+1dx

Passo 4

Para resolver integral xx^2+1dx fazemos a substituição t=x^2+1, logo dt=2x,dx. Assim
integral xx^2+1dx = 12integral dtt = 12ln(x^2+1)
Portanto uma antiderivada é
F(x)=xarctanl(tfrac1xr)+12ln(x^2+1)

Passo 5

Agora avaliamos de 1 a raiz3:
F(raiz3)=raiz3cdotpi6+12ln4=piraiz36+ln2,
F(1)=1cdotpi4+12ln2=pi4+tfrac12ln2
Subtraindo:
$$\int_{1}^{\sqrt3}\arctan\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)dx=\Bigl(\frac{\pi\sqrt3}{6}+\ln2\Bigr)-\Bigl(\frac{\pi}{4}+\tfrac{1}{2}\ln2\Bigr)
=\frac{\pi(2\sqrt3-3)}{12}+\tfrac{1}{2}\ln2.$$

Resposta

pi(2raiz3-3)12+tfrac12ln2

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