Usando as coordenadas polares, calcule
, onde
é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro na origem e raios 1 e 2.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando coordenadas polares. A gente precisa calcular a integral dupla de $ x^{2} - y^{2} $ sobre a região $ R $, que está no primeiro quadrante e fica entre dois círculos com raios 1 e 2, ambos centrados na origem. Para isso, vamos precisar transformar a integral de coordenadas cartesianas para polares e usar as fórmulas que relacionam $ x $, $ y $, e $ r $ em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas
para polares
:
Também precisamos do elemento de área em coordenadas polares, que é:
Passo 3
Agora, vamos expressar a função $ x^{2} - y^{2} $ em termos de $ r $ e $ \theta $:
Passo 4
Sabemos que a região $ R $ está no primeiro quadrante, então os limites para $ \theta $ vão de 0 a $ \frac{\pi}{2} $. E como $ R $ está entre os círculos de raio 1 e 2, os limites para $ r $ vão de 1 a 2.
Passo 5
Agora podemos montar a integral em coordenadas polares:
Simplificando, temos:
Passo 6
Vamos primeiro integrar em relação a $ r $:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Precisamos integrar $ \cos^{2}(\theta) - \sin^{2}(\theta) $.
Passo 8
Lembrando que $ \cos^{2}(\theta) - \sin^{2}(\theta) = \cos(2\theta) $, então a integral fica:
Passo 9
Integrando $ \cos(2\theta) $:
Aplicando os limites:
Passo 10
Portanto, a integral final é:
Resposta
O valor da integral é igual a 0.