Usando as coordenadas polares, calcule integral duplaR x^2-y^2 d x d y, onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro na origem e raios 1 e 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando coordenadas polares. A gente precisa calcular a integral dupla de $ x^{2} - y^{2} $ sobre a região $ R $, que está no primeiro quadrante e fica entre dois círculos com raios 1 e 2, ambos centrados na origem. Para isso, vamos precisar transformar a integral de coordenadas cartesianas para polares e usar as fórmulas que relacionam $ x $, $ y $, e $ r $ em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas (x, y) para polares (r, theta):
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
Também precisamos do elemento de área em coordenadas polares, que é:
dA = r , dr , dtheta

Passo 3

Agora, vamos expressar a função $ x^{2} - y^{2} $ em termos de $ r $ e $ \theta $:
x^2 - y^2

Passo 4

Sabemos que a região $ R $ está no primeiro quadrante, então os limites para $ \theta $ vão de 0 a $ \frac{\pi}{2} $. E como $ R $ está entre os círculos de raio 1 e 2, os limites para $ r $ vão de 1 a 2.

Passo 5

Agora podemos montar a integral em coordenadas polares:
integral duplaR (x^2 - y^2) , dx , dy = integral0^pi2 integral1^2 r^2 (cos^2(theta) - sin^2(theta)) cdot r , dr , dtheta
Simplificando, temos:
integral0^pi2 integral1^2 r^3 (cos^2(theta) - sin^2(theta)) , dr , dtheta

Passo 6

Vamos primeiro integrar em relação a $ r $:
r

Passo 7

Agora, a integral fica:
154 integral0^pi2 (cos^2(theta) - sin^2(theta)) , dtheta
Precisamos integrar $ \cos^{2}(\theta) - \sin^{2}(\theta) $.

Passo 8

Lembrando que $ \cos^{2}(\theta) - \sin^{2}(\theta) = \cos(2\theta) $, então a integral fica:
cos^2(theta) - sin^2(theta) = cos(2theta)

Passo 9

Integrando $ \cos(2\theta) $:
cos(2theta)
Aplicando os limites:
integral cos(2theta) , dtheta = sin(2theta)2

Passo 10

Portanto, a integral final é:
154 times 0 = 0

Resposta

O valor da integral é igual a 0.

Exercícios relacionados