Identifique se a função
abaixo é continua nos pontos
e
. justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para verificar se a função $ f(z) $ é contínua nos pontos $ z_{1}=2 e^{i \pi / 2} $ e $ z_{2}=2 e^{-i \pi / 2} $. Aqui estamos trabalhando com funções complexas e continuidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir continuidade em função de variáveis complexas e aplicar isso nos pontos específicos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função $ f(z) $ está definida. Ela tem duas partes:
Isso significa que para qualquer número complexo $ z $ com módulo diferente de 2, usamos a expressão $ \frac{z^2 - 1}{z - 1} $. Se o módulo de $ z $ for exatamente 2, então $ f(z) = 1 + 2i $.
Passo 3
Agora, precisamos verificar a continuidade nos pontos $ z_{1} = 2 e^{i \pi / 2} $ e $ z_{2} = 2 e^{-i \pi / 2} $. Primeiro, vamos encontrar o valor de cada ponto:
Ambos têm módulo 2, então para esses pontos, $ f(z) = 1 + 2i $.
Passo 4
Para $ f(z) $ ser contínua em um ponto, o limite de $ f(z) $ quando $ z $ se aproxima desse ponto deve ser igual ao valor de $ f(z) $ nesse ponto.
Então, vamos calcular o limite de $ f(z) $ quando $ z $ se aproxima de $ z_{1} $ e $ z_{2} $.
Primeiro, simplificamos $ \frac{z^2 - 1}{z - 1} $:
Então, para $ |z| \neq 2 $, $ f(z) = z + 1 $.
Passo 5
Agora, calculamos o limite de $ f(z) $ quando $ z $ se aproxima de $ z_{1} = 2i $:
Esse valor é igual ao valor de $ f(z) $ em $ z_{1} $, que é $ 1 + 2i $. Portanto, $ f(z) $ é contínua em $ z_{1} $.
Passo 6
Fazendo o mesmo para $ z_{2} = -2i $:
Agora, olha só: o valor de $ f(z) $ em $ z_{2} $ é $ 1 + 2i $, mas o limite quando $ z $ se aproxima de $ z_{2} $ é $ 1 - 2i $. Esses valores não são iguais.
Resposta
A função $ f(z) $ é contínua no ponto $ z_{1}=2 e^{i \pi / 2} $ e não contínua no ponto $ z_{2}=2 e^{-i \pi / 2} $.