circ Para cada uma das seguintes funções achar partial fpartial x e partial fpartial y.
f) f(x, y)=(x+y)(x y-1).

Passo 1

O exercício pede para encontrar as derivadas parciais de uma função quociente, ou seja, de uma função da forma f(x,y)=g(x,y)h(x,y). Aqui temos g(x,y)=x+y e h(x,y)=xy-1, então vamos usar a regra do quociente para derivadas parciais.

Passo 2

Para aplicar a regra do quociente, lembramos que
partialpartial x(gh)=h,partial gpartial x-g,partial hpartial xh^2
e de forma análoga para partial/partial y. Vamos primeiro identificar as derivadas de g e h.

Passo 3

Derivadas parciais de g e h:
partial gpartial x=1, partial hpartial x=y
Substituindo na regra do quociente para partial f/partial x:

Passo 4

Temos então
partial fpartial x =(xy-1)cdot1-(x+y)cdot y(xy-1)^2 =xy-1-xy-y^2(xy-1)^2 =-1-y^2(xy-1)^2 =-y^2+1(xy-1)^2

Passo 5

Agora vamos ao cálculo de partial f/partial y. Primeiro as derivadas de g e h em relação a y:
partial gpartial y=1, partial hpartial y=x
Aplicando a regra do quociente para partial f/partial y:

Passo 6

Fica
partial fpartial y =(xy-1)cdot1-(x+y)cdot x(xy-1)^2 =xy-1-x^2-xy(xy-1)^2 =-1-x^2(xy-1)^2 =-x^2+1(xy-1)^2

Resposta

As derivadas parciais são
partial fpartial x=-y^2+1(xy-1)^2 e partial fpartial y=-x^2+1(xy-1)^2

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