5^{\circ} ) Usando as regras básicas de integração, calcule as seguintes primitivas (integrais indefinidas):
\int\left(x^{4}-3 x^{2}+7\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (integração indefinida) do polinômio
x^{4}-3x^{2}+7
para calcular
\int\bigl(x^{4}-3x^{2}+7\bigr)\,dx.
O que vamos usar é a regra de potência: para todo n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Vamos decompor a integral em três parcelas mais simples:
\int\bigl(x^{4}-3x^{2}+7\bigr)\,dx =\int x^{4}\,dx \;-\;3\int x^{2}\,dx \;+\;7\int 1\,dx.

Passo 3

Aplicando a regra de potência em cada termo não constante:
\int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}, \quad \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.

Passo 4

A integral da constante é direta:
\int 1\,dx = x.

Passo 5

Agora basta montar o resultado, lembrando do fator -3 e da constante 7, e incluir a constante de integração C:
\int\bigl(x^{4}-3x^{2}+7\bigr)\,dx = \frac{x^{5}}{5} -3\cdot\frac{x^{3}}{3} +7x + C = \frac{x^{5}}{5} - x^{3} +7x + C.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{5}}{5} - x^{3} +7x + C

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