4^{\circ} ) Calcule as integrais usando integração por partes. (Não usar integração tabular)
\int_{0}^{2 \pi} e^{-2 t} \operatorname{sen}(2 t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2\pi} e^{-2t}\operatorname{sen}(2t)\,dt,
usando integração por partes (não usar integração tabular). Informações dadas:
\text{integrando: } e^{-2t}\operatorname{sen}(2t),\qquad \text{intervalo: } t\in[0,2\pi].
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Vou usar a fórmula de integração por partes. A fórmula geral é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são partes do integrando escolhidas de modo que du (derivada de u) e v (antiderivada de dv) sejam mais fáceis de manipular. Aqui u é uma função cuja derivada simplifica e dv é uma parte que sabemos integrar. Essa fórmula é uma “troca” que transforma uma integral difícil em outra mais tratável.

Passo 3

Defino a integral indefinida auxiliar
I(t)=\int e^{-2t}\sin(2t)\,dt.
Escolho as partes para a primeira aplicação de integração por partes como
u=\sin(2t),\qquad dv=e^{-2t}\,dt.
Motivo: a derivada de \sin(2t) é simples , (gera \cos(2t) multiplicado por constante) e sabemos integrar e^{-2t} facilmente.

Passo 4

Calculo du e v:
du = \frac{d}{dt}\big(\sin(2t)\big)\,dt = 2\cos(2t)\,dt,
v = \int e^{-2t}\,dt = -\tfrac{1}{2}e^{-2t}.
Observação rápida: para integrar e^{at} usa-se \int e^{at}\,dt=\tfrac{1}{a}e^{at}. Aqui a=-2, então \tfrac{1}{a}=-\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Aplico integração por partes:
I(t)=uv-\int v\,du = -\tfrac{1}{2}e^{-2t}\sin(2t) - \int\big(-\tfrac{1}{2}e^{-2t}\big)\cdot 2\cos(2t)\,dt.
Simplificando o integrando do segundo termo:
I(t) = -\tfrac{1}{2}e^{-2t}\sin(2t) + \int e^{-2t}\cos(2t)\,dt.
Defino
J(t)=\int e^{-2t}\cos(2t)\,dt,
para trabalhar com esse novo integral.

Passo 6

Agora aplico integração por partes em J(t). Escolho
u=\cos(2t),\qquad dv=e^{-2t}\,dt.
Calculo du e v:
du = \frac{d}{dt}\big(\cos(2t)\big)\,dt = -2\sin(2t)\,dt,
v = -\tfrac{1}{2}e^{-2t}
(igual ao caso anterior para v). Então
J(t)=uv-\int v\,du = -\tfrac{1}{2}e^{-2t}\cos(2t) - \int\big(-\tfrac{1}{2}e^{-2t}\big)\cdot(-2\sin(2t))\,dt.
Simplificando o sinal e os fatores:
J(t) = -\tfrac{1}{2}e^{-2t}\cos(2t) - \int e^{-2t}\sin(2t)\,dt.
Mas o último integral é exatamente I(t). Logo
J(t) = -\tfrac{1}{2}e^{-2t}\cos(2t) - I(t).

Passo 7

Volto à relação obtida em Passo 5:
I(t) = -\tfrac{1}{2}e^{-2t}\sin(2t) + J(t).
Substituindo J(t) da equação do Passo 6:
I(t) = -\tfrac{1}{2}e^{-2t}\sin(2t) + \big(-\tfrac{1}{2}e^{-2t}\cos(2t) - I(t)\big).
Agrupando termos em I(t):
I(t) + I(t) = 2I(t) = -\tfrac{1}{2}e^{-2t}\big(\sin(2t)+\cos(2t)\big).
Portanto
I(t) = -\tfrac{1}{4}e^{-2t}\big(\sin(2t)+\cos(2t)\big) + C,
onde C é constante de integração. Essa é a primitiva de e^{-2t}\sin(2t).

Passo 8

Agora uso essa primitiva para calcular a integral definida pedida. Seja
F(t) = -\tfrac{1}{4}e^{-2t}\big(\sin(2t)+\cos(2t)\big).
Então
\int_{0}^{2\pi} e^{-2t}\sin(2t)\,dt = F(2\pi)-F(0).

Passo 9

Avalio F nos extremos. Primeiro em t=2\pi:
2t = 4\pi \quad\Rightarrow\quad \sin(4\pi)=0,\\ \cos(4\pi)=1,
logo
F(2\pi) = -\tfrac{1}{4}e^{-4\pi}\big(0+1\big) = -\tfrac{1}{4}e^{-4\pi}.
Agora em t=0:
2t=0 \quad\Rightarrow\quad \sin(0)=0,\\ \cos(0)=1,
então
F(0) = -\tfrac{1}{4}e^{0}\big(0+1\big) = -\tfrac{1}{4}.
A diferença é
F(2\pi)-F(0) = -\tfrac{1}{4}e^{-4\pi} - \big(-\tfrac{1}{4}\big) = \tfrac{1}{4}\big(1-e^{-4\pi}\big).

Passo 10

Interpretação final e motivação para a prova: a técnica usada foi aplicar integração por partes duas vezes, obter uma relação linear entre a integral original I e ela mesma, e isolar I. Esse truque é muito comum quando aparece produto de exponencial e função trigonométrica. Dá sempre para seguir os mesmos passos em exercícios similares.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\big(1-e^{-4\pi}\big)

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