) Calcule as integrais usando integração por partes. (Não usar integração tabular)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
usando integração por partes (não usar integração tabular). Informações dadas:
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Vou usar a fórmula de integração por partes. A fórmula geral é
onde
e
são partes do integrando escolhidas de modo que
(derivada de
) e
(antiderivada de
) sejam mais fáceis de manipular. Aqui
é uma função cuja derivada simplifica e
é uma parte que sabemos integrar. Essa fórmula é uma “troca” que transforma uma integral difícil em outra mais tratável.
Passo 3
Defino a integral indefinida auxiliar
Escolho as partes para a primeira aplicação de integração por partes como
Motivo: a derivada de
é
simples
, (gera
multiplicado por constante) e sabemos integrar
facilmente.
Passo 4
Calculo
e
:
Observação rápida: para integrar
usa-se
. Aqui
, então
.
Passo 5
Aplico integração por partes:
Simplificando o integrando do segundo termo:
Defino
para trabalhar com esse novo integral.
Passo 6
Agora aplico integração por partes em
. Escolho
Calculo
e
:
(igual ao caso anterior para
). Então
Simplificando o sinal e os fatores:
Mas o último integral é exatamente
. Logo
Passo 7
Volto à relação obtida em Passo 5:
Substituindo
da equação do Passo 6:
Agrupando termos em
:
Portanto
onde
é constante de integração. Essa é a primitiva de
.
Passo 8
Agora uso essa primitiva para calcular a integral definida pedida. Seja
Então
Passo 9
Avalio
nos extremos. Primeiro em
:
logo
Agora em
:
então
A diferença é
Passo 10
Interpretação final e motivação para a prova: a técnica usada foi aplicar integração por partes duas vezes, obter uma relação linear entre a integral original
e ela mesma, e isolar
. Esse truque é muito comum quando aparece produto de exponencial e função trigonométrica. Dá sempre para seguir os mesmos passos em exercícios similares.