Resolva:
Passo 1
O enunciado pede resolver a inequação
.\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Temos um valor absoluto:
. - A desigualdade é estrita e do tipo “maior que”:
. - O termo à direita é
, que é positivo.
Passo 2
Entendendo o significado de
e a regra geral que vamos usar (aula rápida, calma!).
- Por definição, o valor absoluto de um número
, escrito , é a distância de até na reta numérica. Então para todo . - Quando temos uma desigualdade do tipo
com , isso significa que a distância de até é maior que . Geometricamente, está a mais de unidades de , então pode estar à direita de ou à esquerda de . - Assim, a regra prática (provável que caia na prova) é:
desde que
.
- Se precisar de derivação rápida: usando definição por casos,
- se
então e vira ; - se
então e vira , equivalente a .
- se
- No nosso problema,
, então podemos aplicar essa regra direto.
Passo 3
Aplicando a regra ao nosso problema:
- Tome
e . Pela regra,
Passo 4
Resolver a primeira desigualdade
:
- Primeiro isolo
somando aos dois lados:
- Calculo
:
- Agora divido ambos os lados por
. Como , a direção da desigualdade não muda:
- Conclusão da primeira parte: soluções com
.
Passo 5
Resolver a segunda desigualdade
:
- Isolo
somando aos dois lados:
- Calculo
:
- Divido ambos os lados por
. Como , a direção da desigualdade permanece:
- Conclusão da segunda parte: soluções com
.
Passo 6
Combinar as duas partes (lembrando que a regra deu “ou”):
- A solução completa da inequação é a união dos conjuntos obtidos:
- Em notação de intervalo:
Passo 7
Verificação rápida com pontos teste (pra dar confiança):
- Escolho
, que fica em . Calculando , e é verdadeiro. - Escolho
, que fica em pois . Calculando , e é verdadeiro. - Escolho
, que NÃO está nas soluções ( ). Calculando , e é falso, então faz sentido que não esteja na solução.