Resolva:
|3 x-8|>6

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação |3x-8|>6.\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Temos um valor absoluto: |3x-8|.
  • A desigualdade é estrita e do tipo “maior que”: >.
  • O termo à direita é 6, que é positivo.

Passo 2

Entendendo o significado de |\,\cdot\,| e a regra geral que vamos usar (aula rápida, calma!).
  • Por definição, o valor absoluto de um número y, escrito |y|, é a distância de y até 0 na reta numérica. Então |y|\ge 0 para todo y.
  • Quando temos uma desigualdade do tipo |A|>b com b>0, isso significa que a distância de A até 0 é maior que b. Geometricamente, A está a mais de b unidades de 0, então A pode estar à direita de b ou à esquerda de -b.
  • Assim, a regra prática (provável que caia na prova) é:
|A|>b \quad\Longleftrightarrow\quad A>b \quad\text{ou}\quad A<-b,
desde que b>0.
  • Se precisar de derivação rápida: usando definição por casos,
    • se A\ge 0 então |A|=A e |A|>b vira A>b;
    • se A<0 então |A|=-A e |A|>b vira -A>b, equivalente a A<-b.
  • No nosso problema, b=6>0, então podemos aplicar essa regra direto.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso problema:
  • Tome A=3x-8 e b=6. Pela regra,
|3x-8|>6 \quad\Longleftrightarrow\quad 3x-8>6 \quad\text{ou}\quad 3x-8<-6.

Passo 4

Resolver a primeira desigualdade 3x-8>6:
  • Primeiro isolo 3x somando 8 aos dois lados:
3x>6+8.
  • Calculo 6+8:
3x>14.
  • Agora divido ambos os lados por 3. Como 3>0, a direção da desigualdade não muda:
x>\frac{14}{3}.
  • Conclusão da primeira parte: soluções com x>\frac{14}{3}.

Passo 5

Resolver a segunda desigualdade 3x-8<-6:
  • Isolo 3x somando 8 aos dois lados:
3x<-6+8.
  • Calculo -6+8:
3x<2.
  • Divido ambos os lados por 3. Como 3>0, a direção da desigualdade permanece:
x<\frac{2}{3}.
  • Conclusão da segunda parte: soluções com x<\frac{2}{3}.

Passo 6

Combinar as duas partes (lembrando que a regra deu “ou”):
  • A solução completa da inequação é a união dos conjuntos obtidos:
\{x\mid x<\tfrac{2}{3}\}\\ \cup\\ \{x\mid x>\tfrac{14}{3}\}.
  • Em notação de intervalo:
\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)\cup\left(\frac{14}{3},\infty\right).

Passo 7

Verificação rápida com pontos teste (pra dar confiança):
  • Escolho x=0, que fica em \left(-\infty,\tfrac{2}{3}\right). Calculando |3\cdot0-8|=| -8|=8, e 8>6 é verdadeiro.
  • Escolho x=5, que fica em \left(\tfrac{14}{3},\infty\right) pois \tfrac{14}{3}\approx4,66. Calculando |3\cdot5-8|=|15-8|=7, e 7>6 é verdadeiro.
  • Escolho x=2, que NÃO está nas soluções ( \tfrac{2}{3}<2<\tfrac{14}{3}). Calculando |3\cdot2-8|=|6-8|=2, e 2>6 é falso, então faz sentido que 2 não esteja na solução.

Resposta

\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)\cup\left(\frac{14}{3},\infty\right)

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