Calcule o limite:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{4-2 x}{x^{2}+3 x-10}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \to 2} \frac{4-2x}{x^{2}+3x-10}.
Informações fornecidas: a expressão do numerador é \,4-2x\, e a do denominador é \,x^{2}+3x-10\,. Não há outras condições explícitas. Ao substituir x=2 diretamente obtemos o quociente \frac{0}{0}, ou seja, a forma \frac{0}{0}.

Passo 2

Explicação didática do que significa a forma \frac{0}{0}: quando ao substituir o ponto na expressão obtemos \frac{0}{0} isso é uma indeterminação — não significa que o limite é zero nem infinito; significa que precisamos manipular algebricamente a expressão (ou usar outro método) para remover a indeterminação. Uma técnica comum e simples é fatorar numerador e denominador e cancelar fatores comuns, se existirem.

Passo 3

Fatorando o numerador. Começamos por escrever \,4-2x\, de forma que fique evidente um fator (x-2). Observe:
4-2x = 2\cdot(2-x).
E como (2-x)=-(x-2), temos
4-2x = 2\cdot(2-x) = 2\cdot\bigl(-1\bigr)\cdot(x-2) = -2(x-2).
Aqui eu usei uma propriedade simples: trocar a ordem numa diferença muda o sinal, e fatorar um coeficiente comum (o 2).

Passo 4

Fatorando o denominador. Queremos fatorar \,x^{2}+3x-10\,. Procuramos dois números que multiplicados dão -10 e somados dão 3. Esses números são 5 e -2, porque 5\cdot(-2)=-10 e 5+(-2)=3. Portanto
x^{2}+3x-10 = (x+5)(x-2).
Podemos checar por FOIL (distributiva): (x+5)(x-2)=x^2-2x+5x-10=x^2+3x-10, confirmado.

Passo 5

Substituímos as fatorações na expressão do limite:
\frac{4-2x}{x^{2}+3x-10} = \frac{-2(x-2)}{(x+5)(x-2)}.
Para x\neq 2 podemos cancelar o fator comum (x-2), obtendo a expressão equivalente (para x perto de 2, mas diferente de 2):
\frac{-2(x-2)}{(x+5)(x-2)} = \frac{-2}{x+5}.
Explicação do porquê do cancelamento ser válido no contexto de limite: o limite considera valores de x que se aproximam de 2 sem necessariamente igualar 2. Como o fator cancelado é zero só em x=2, para x próximos a 2 (mas distintos) a simplificação é válida, e o limite da função original é igual ao limite da função simplificada.

Passo 6

Agora avaliamos o limite da função simplificada por substituição direta, já que \frac{-2}{x+5} é contínua em x=2. Logo
\lim_{x\to 2} \frac{-2}{x+5} = \frac{-2}{2+5} = \frac{-2}{7}.
Comentário rápido de método alternativo (só para saber): poderíamos também aplicar a regra de L’Hôpital na forma \frac{0}{0}, derivando numerador e denominador e avaliando o limite; isso daria o mesmo resultado -2/7.

Resposta

-\dfrac{2}{7}

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