Calcule o limite:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações fornecidas: a expressão do numerador é
e a do denominador é
. Não há outras condições explícitas. Ao substituir
diretamente obtemos o quociente
, ou seja, a forma
.
Passo 2
Explicação didática do que significa a forma
: quando ao substituir o ponto na expressão obtemos
isso é uma indeterminação — não significa que o limite é zero nem infinito; significa que precisamos manipular algebricamente a expressão (ou usar outro método) para remover a indeterminação. Uma técnica comum e simples é fatorar numerador e denominador e cancelar fatores comuns, se existirem.
Passo 3
Fatorando o numerador. Começamos por escrever
de forma que fique evidente um fator
. Observe:
E como
, temos
Aqui eu usei uma propriedade simples: trocar a ordem numa diferença muda o sinal, e fatorar um coeficiente comum (o
).
Passo 4
Fatorando o denominador. Queremos fatorar
. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
, porque
e
. Portanto
Podemos checar por FOIL (distributiva):
, confirmado.
Passo 5
Substituímos as fatorações na expressão do limite:
Para
podemos cancelar o fator comum
, obtendo a expressão equivalente (para
perto de
, mas diferente de
):
Explicação do porquê do cancelamento ser válido no contexto de limite: o limite considera valores de
que se aproximam de
sem necessariamente igualar
. Como o fator cancelado é zero só em
, para
próximos a
(mas distintos) a simplificação é válida, e o limite da função original é igual ao limite da função simplificada.
Passo 6
Agora avaliamos o limite da função simplificada por substituição direta, já que
é contínua em
. Logo
Comentário rápido de método alternativo (só para saber): poderíamos também aplicar a regra de L’Hôpital na forma
, derivando numerador e denominador e avaliando o limite; isso daria o mesmo resultado
.