2^circ ) Calcule os seguintes limites:
lim x t raiz[n]x-raiz[n]tx-t

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto traiz[n]x-raiz[n]tx-t
Esse tipo de limite é justamente o quociente incremental da função f(x)=x^1/n em x=t. Para resolver, vamos usar a fatoração da diferença de n-ésimos poderes, que evita assumir conhecimentos de derivada.

Passo 2

Definimos
u = raiz[n]x, v = raiz[n]t,
então u^n = x e v^n = t. A expressão dentro do limite fica
u - vu^n - v^n

Passo 3

Usamos a identidade de fatoração
u^n - v^n = (u - v)l(u^n-1+u^n-2v+cdots+v^n-1r)
Logo, para xneq t (ou seja, uneq v),
u - vu^n - v^n = u - v(u - v)l(u^n-1+cdots+v^n-1r) = 1u^n-1+u^n-2v+cdots+v^n-1

Passo 4

Quando xto t, temos uto v. Portanto cada termo da soma
u^n-1,;u^n-2v,;dots,;v^n-1
tende a v^n-1 = l(t^1/nr)^n-1=t^(n-1)/n. Como há n termos iguais nessa soma, o denominador tende a
n,t^n-1n

Resposta

limxto traiz[n]x-raiz[n]tx-t = 1n,t^n-1n

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