( 2,0 pontos) Questão - A que taxa de capitalização composta mensal uma compra feita hoje, no valor de R$200.000, é quitada mediante 3 pagamentos de R$ 80.000 cada um, em 3, 6 e 9 meses?

Passo 1

O enunciado pede a taxa mensal de juros compostos i tal que um valor presente de R$ 200,000 seja quitado por três pagamentos de R$ 80,000 nos instantes de 3, 6 e 9 meses. O conteúdo aqui é Valor Presente de uma série de pagamentos descontados à taxa composta.

Passo 2

Escrevemos a equivalência de valor presente:
200,000 ;=;80,000,(1+i)^-3 ;+;80,000,(1+i)^-6 ;+;80,000,(1+i)^-9
Para simplificar, fatoramos 80,000,(1+i)^-3:
200,000 = 80,000,(1+i)^-3l[1 + (1+i)^-3 + (1+i)^-6r]

Passo 3

Dividindo ambos os lados por 80,000 e chamando j=(1+i)^3, temos
200,00080,000 ;=;(1+i)^-3l[1+(1+i)^-3+(1+i)^-6r] ;Longrightarrow;2,5 ;=;1jl[1+1j+1j^2r]
Multiplicando por j^2 ou por j^3, obtemos a equação cúbica em j:
j^2 + j + 1 = 2,5,j^3 Longrightarrow 5,j^3 - 2,j^2 - 2,j - 2 = 0

Passo 4

Resolvendo numericamente
5,j^3 - 2,j^2 - 2,j - 2 = 0
vemos que a raiz real relevante é aproximadamente japprox1,098.

Passo 5

Retornando a i, temos
(1+i)^3 = j approx 1,098 Longrightarrow 1+i = raiz[,3]1,098approx1,0317 Longrightarrow i approx 0,0317 = 3,17% ao mês ê

Resposta

A taxa de capitalização composta mensal é aproximadamente 3,17%.

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