Escolha g(y) para que f(x, y)=e^c x g(y) satisfaza as equações:
fx+fy=0.

Passo 1

O enunciado pede uma função f(x,y)=e^c xg(y) que satisfaça a equação parcial
fx+fy=0
O conteúdo aqui é simples: calcular as derivadas parciais de f e usar a condição para obter uma equação ordinal para g(y).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas:
- A derivada parcial em relação a x é
fx = partialpartial xl(e^c xg(y)r) = c,e^c xg(y)
- A derivada parcial em relação a y é
fy = partialpartial yl(e^c xg(y)r) = e^c xg'(y)

Passo 3

Substituindo na condição fx+fy=0, obtemos
c,e^c xg(y) + e^c xg'(y) = 0
Como e^c x nunca é zero, isso reduz-se à equação diferencial em y:
g'(y) + c,g(y) = 0

Passo 4

Resolvendo a equação do tipo separável:
g'(y)g(y) = -c Longrightarrow ln|g(y)| = -c y + C1 Longrightarrow g(y) = C,e^-c y,
onde C=e^C1 é uma constante arbitrária.

Resposta

Uma escolha de g(y) que faz fx+fy=0 é
g(y) = C,e^-c y,
sendo C uma constante.

Exercícios relacionados