6^{\circ} ) Em um circuito RLC em série que inclui uma fonte de corrente alternada operando com uma frequência fixa, a resistência R é igual a reatância indutiva. Se a separação entre as placas do capacitor é reduzida pela metade do seu valor original, a corrente no circuito dobra. Encontre o valor inicial da reatância capacitiva em termos de R .

Passo 1

Resumindo: temos um circuito série RLC alimentado por fonte de tensão alternada de frequência fixa. Foi dado que a resistência R é igual à reatância indutiva X_L. Ao reduzir a distância entre as placas do capacitor à metade, a capacitância dobra e observa-se que a corrente no circuito dobra. Queremos achar a reatância capacitiva inicial X_{C0} em função de R.

Passo 2

Quando a separação entre placas cai para metade, a capacitância passa de C_0 para
C_f = 2\,C_0
e, como X_C = 1/(\omega C), a reatância capacitiva final é
X_{Cf} = \frac{1}{\omega\,C_f} = \frac{1}{\omega\,(2C_0)} = \frac{X_{C0}}{2}\,.

Passo 3

Em circuito série, a impedância é
Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\,.
Inicialmente X_L = R e X_C = X_{C0}, logo
Z_1 = \sqrt{R^2 + (R - X_{C0})^2}\,.
Após a mudança, X_L = R e X_C = X_{C0}/2, logo
Z_2 = \sqrt{R^2 + \bigl(R - \tfrac{X_{C0}}{2}\bigr)^2}\,.

Passo 4

Como a corrente dobra ( I_2 = 2I_1) para mesma tensão, a impedância final é metade da inicial:
Z_2 = \tfrac12\,Z_1\,.
Substituindo:
\sqrt{R^2 + \bigl(R - \tfrac{X_{C0}}{2}\bigr)^2} = \tfrac12\, \sqrt{R^2 + (R - X_{C0})^2}\,.

Passo 5

Quadrando ambos os lados e dividindo tudo por R^2, defina x = X_{C0}/R. A equação vira
1 + \bigl(1 - \tfrac{x}{2}\bigr)^2 = \tfrac14\bigl[\,1 + (1 - x)^2\bigr].
Expandindo:
1 + \bigl(1 - x + \tfrac{x^2}{4}\bigr) = \tfrac14\bigl[\,1 + 1 - 2x + x^2\bigr] \;\Longrightarrow\; 8 - 4x + x^2 = 2 - 2x + x^2 \;\Longrightarrow\;x=3.

Passo 6

Voltando à variável original, X_{C0}/R = 3, ou seja
X_{C0} = 3\,R.

Resposta

O valor inicial da reatância capacitiva é X_{C0} = 3R.

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