1^{\circ} ) Coloque em sistema de plano cartesiano seguintes vetores:
\begin{gathered} \vec{a}=(5,0 m) \hat{\imath}+(2,5 m) \hat{\jmath} \\\ \vec{b}=(-3,4 m) \hat{\imath}+(0,6 m) \hat{\jmath} \\\ \vec{c}=(2,2 m) \hat{\jmath} \end{gathered}
Qual é o vetor soma \vec{r} que resultará nesse sistema e o módulo do mesmo, assim como o ângulo de orientação.

Passo 1

O enunciado fornece três vetores (peguei os valores diretamente do enunciado) com unidades em metros e pede: qual é o vetor soma \vec{r}, qual o módulo de \vec{r} e qual o ângulo de orientação de \vec{r}. Os dados são:
\vec{a} = (5,0\\ \text{m})\hat{\imath} + (2,5\\ \text{m})\hat{\jmath}
\vec{b} = (-3,4\\ \text{m})\hat{\imath} + (0,6\\ \text{m})\hat{\jmath}
\vec{c} = (0\\ \text{m})\hat{\imath} + (2,2\\ \text{m})\hat{\jmath}
O que se pede:
  • o vetor soma \vec{r}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} (componentes em \hat{\imath},\hat{\jmath});
  • o módulo |\vec{r}| (em metros);
  • o ângulo de orientação \theta de \vec{r} medido a partir do eixo positivo x (em graus).

Passo 2

Regra de soma de vetores no plano (com explicação didática).
Quando somamos vetores no plano cartesiano, somamos as componentes correspondentes. Se
\vec{u} = (u_x)\hat{\imath} + (u_y)\hat{\jmath},\qquad \vec{v} = (v_x)\hat{\imath} + (v_y)\hat{\jmath},
então a soma é
\vec{u}+\vec{v} = (u_x+v_x)\hat{\imath} + (u_y+v_y)\hat{\jmath}.
Aqui u_x,v_x são as componentes na direção x (em metros) e u_y,v_y as componentes na direção y. É simples: soma horizontal com horizontal, vertical com vertical.

Passo 3

Calcular a componente x resultante r_x somando as componentes x de \vec{a},\vec{b},\vec{c}.
r_x = a_x + b_x + c_x.
Substituindo os valores (peguei a_x=5,0\\ \text{m}, b_x=-3,4\\ \text{m}, c_x=0\\ \text{m} do enunciado):
r_x = 5,0 + (-3,4) + 0 = 1,6\\ \text{m}.

Passo 4

Calcular a componente y resultante r_y somando as componentes y de \vec{a},\vec{b},\vec{c}.
r_y = a_y + b_y + c_y.
Substituindo os valores (peguei a_y=2,5\\ \text{m}, b_y=0,6\\ \text{m}, c_y=2,2\\ \text{m} do enunciado):
r_y = 2,5 + 0,6 + 2,2 = 5,3\\ \text{m}.

Passo 5

Escrever o vetor resultante \vec{r} em forma cartesiana (uso o que calculei em passos anteriores).
\vec{r} = (1,6\\ \text{m})\hat{\imath} + (5,3\\ \text{m})\hat{\jmath}.

Passo 6

Fórmula para o módulo do vetor (explicação didática).
Num plano cartesiano, o módulo de \vec{r}=(r_x)\hat{\imath}+(r_y)\hat{\jmath} vem do teorema de Pitágoras:
|\vec{r}| = \sqrt{r_x^2 + r_y^2}.
Aqui r_x e r_y são as componentes horizontais e verticais em metros; o resultado será em metros.

Passo 7

Aplicar a fórmula do módulo com os valores encontrados.
Calcular os quadrados:
r_x^2 = (1,6)^2 = 2,56, \qquad r_y^2 = (5,3)^2 = 28,09.
Somando:
r_x^2 + r_y^2 = 2,56 + 28,09 = 30,65.
Agora a raiz:
|\vec{r}| = \sqrt{30,65}\approx 5,536\\ \text{m}.
Observação sobre aproximação: 5,5^2=30,25 e 5,6^2=31,36, como 30,65 está entre estes valores, a raiz fica entre 5,5 e 5,6. Fazendo uma interpolação simples encontra-se aproximadamente 5,536\\ \text{m}. Em prova, pode-se apresentar 5,54\\ \text{m} com duas casas significativas se preferir arredondar.

Passo 8

Cálculo do ângulo de orientação \theta (explicação didática).
O ângulo \theta que o vetor forma com o eixo positivo x (medido no sentido anti-horário) pode ser encontrado por
\theta = \arctan\!\left(\frac{r_y}{r_x}\right).
Aqui \arctan é a função tangente inversa; ela retorna o ângulo cujo tangente é o quociente r_y/r_x. Antes de usar essa fórmula é importante verificar o quadrante: como r_x=1,6>0 e r_y=5,3>0, \vec{r} está no primeiro quadrante e o resultado de \arctan dá diretamente o ângulo correto entre 0^\circ e 90^\circ.
Calcular o quociente:
\frac{r_y}{r_x}=\frac{5,3}{1,6}=3,3125.
Agora \theta=\arctan(3,3125). Usando valores tabelados ou calculadora, obtém-se
\theta \approx 73,3^\circ.
Dica prática sem calculadora: comparar com tangentes conhecidas — por exemplo \tan(73^\circ)\approx 3,271 e \tan(73{,}5^\circ)\approx 3,352 — e ver que 3,3125 fica entre esses valores, levando a aproximadamente 73,3^\circ.

Passo 9

Interpretação final (curto incentivo).
Pronto — achamos as componentes, o módulo e o ângulo passo a passo. Você fez certo em pedir a resolução detalhada: somar componentes e depois aplicar Pitágoras e arctan é o caminho padrão para esse tipo de problema. Segue com confiança; esse tipo de conta cai muito em prova e é rápido quando está decorado o procedimento.

Resposta

\vec{r} = (1,6\\ \text{m})\hat{\imath} + (5,3\\ \text{m})\hat{\jmath}
|\vec{r}| \approx 5,536\\ \text{m}
\theta \approx 73,3^\circ

Exercícios relacionados