) Coloque em sistema de plano cartesiano seguintes vetores:
Qual é o vetor soma
que resultará nesse sistema e o módulo do mesmo, assim como o ângulo de orientação.
Passo 1
O enunciado dá três vetores no plano cartesiano e pede três coisas:
- Calcular o vetor soma
resultante do sistema formado por . - Calcular o módulo de
. - Determinar o ângulo de orientação de
(ângulo entre e o eixo , medido no sentido anti-horário).
As informações fornecidas (peguei exatamente do enunciado) são:
Observação útil para controlar o que vamos fazer: cada vetor tem componentes
e
; somamos componente a componente para obter
, depois usamos o teorema de Pitágoras para o módulo e a função arco-tangente para o ângulo.
Passo 2
Escrever as componentes
e
de cada vetor explicitamente (isso ajuda a não se perder):
(Repare que peguei
porque
foi dado só na direção
.)
Passo 3
Regra de soma de vetores no plano (com explicação didática):
- Para somar vetores no plano, somam-se as componentes correspondentes. Ou seja, se
, então
Isso vem da definição de vetores em coordenadas cartesianas: cada vetor é
e a soma é feita coordenada a coordenada.
Agora aplicando as contas:
Fazendo a conta em etapas:
Portanto
Escrevendo o vetor resultante em notação vetorial:
Ou, mais simples,
Passo 4
Cálculo do módulo de
(aula rápida): o módulo de um vetor
é dado pelo teorema de Pitágoras:
Aqui
e
são as componentes cartesianas do vetor; a raiz quadrada dá a distância da origem até a ponta do vetor no plano.
Aplicando com os valores encontrados:
Calculando os quadrados (mostrando passo a passo):
Somando:
Logo
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais) dá
. (Deixo a escolha do número de casas decimais para você; a aproximação com três casas decimais também aparece acima.)
Passo 5
Cálculo do ângulo de orientação (aula e atenção com quadrante):
- A fórmula básica para o ângulo
entre o vetor e o eixo é
Aqui
e
são como antes. Atenção: a função
dá um valor principal entre
e
; é preciso considerar o sinal de
e
para ajustar o quadrante corretamente.
No nosso caso
e
. Isso coloca
no quarto quadrante (para a direita e para baixo). Então a fórmula direta
vai dar um ângulo negativo pequeno, que é correto se quiser o ângulo medido no sentido anti-horário a partir do eixo
(ângulo negativo indica abaixo do eixo
). Se preferir um ângulo entre
e
, pode somar
.
Aplicando:
Aproximando com a calculadora de arco-tangente:
Se preferir o ângulo positivo no intervalo
,
Conclusão sobre o ângulo:
(ou
se usar ângulo positivo padrão).
Passo 6
Resumo final em formas usuais (vetorial e polar) para usar na prova:
- Forma cartesiana (componentes):
ou . - Módulo:
(aprox. ). - Direção:
(ou ).
Força a mão: eu sei que somar componente a componente parece mecânico, mas é a técnica que sempre funciona em prova — escreva os componentes claros e some calmamente; depois Pitágoras para o módulo e arctan para o ângulo. Vai dar tudo certo!