3^{\circ} ) Coloque em sistema de plano cartesiano seguintes vetores:
\begin{gathered} \vec{a}=(-0,7 m) \hat{\imath}+(4,1 m) \hat{\jmath} \\\ \vec{b}=(1,9 m) \hat{\imath}-(2,3 m) \hat{\jmath} \\\ \vec{c}=(-2,0 m) \hat{\jmath} \end{gathered}
Qual é o vetor soma \vec{r} que resultará nesse sistema e o módulo do mesmo, assim como o ângulo de orientação.

Passo 1

O enunciado dá três vetores no plano cartesiano e pede três coisas:
  • Calcular o vetor soma \vec{r} resultante do sistema formado por \vec{a},\vec{b},\vec{c}.
  • Calcular o módulo de \vec{r}.
  • Determinar o ângulo de orientação de \vec{r} (ângulo entre \vec{r} e o eixo x, medido no sentido anti-horário).
As informações fornecidas (peguei exatamente do enunciado) são:
\vec{a}=(-0,7\,\text{m})\hat{\imath}+(4,1\,\text{m})\hat{\jmath}
\vec{b}=(1,9\,\text{m})\hat{\imath}-(2,3\,\text{m})\hat{\jmath}
\vec{c}=(-2,0\,\text{m})\hat{\jmath}
Observação útil para controlar o que vamos fazer: cada vetor tem componentes x e y; somamos componente a componente para obter \vec{r}, depois usamos o teorema de Pitágoras para o módulo e a função arco-tangente para o ângulo.

Passo 2

Escrever as componentes x e y de cada vetor explicitamente (isso ajuda a não se perder):
\vec{a}:\quad a_x = -0,7\,\text{m},\qquad a_y = 4,1\,\text{m}.
\vec{b}:\quad b_x = 1,9\,\text{m},\qquad b_y = -2,3\,\text{m}.
\vec{c}:\quad c_x = 0\,\text{m},\qquad c_y = -2,0\,\text{m}.
(Repare que peguei c_x=0 porque \vec{c} foi dado só na direção \hat{\jmath}.)

Passo 3

Regra de soma de vetores no plano (com explicação didática):
  • Para somar vetores no plano, somam-se as componentes correspondentes. Ou seja, se \vec{r}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}, então
r_x = a_x + b_x + c_x,\qquad r_y = a_y + b_y + c_y.
Isso vem da definição de vetores em coordenadas cartesianas: cada vetor é (x,y) e a soma é feita coordenada a coordenada.
Agora aplicando as contas:
r_x = -0,7 + 1,9 + 0 = 1,2\\ \text{m}.
r_y = 4,1 + (-2,3) + (-2,0) = 4,1 - 2,3 - 2,0.
Fazendo a conta em etapas:
4,1 - 2,3 = 1,8,
1,8 - 2,0 = -0,2.
Portanto
r_y = -0,2\\ \text{m}.
Escrevendo o vetor resultante em notação vetorial:
\vec{r} = (1,2\,\text{m})\hat{\imath} + (-0,2\,\text{m})\hat{\jmath}.
Ou, mais simples,
\vec{r} = (1,2\,\text{m})\hat{\imath} - (0,2\,\text{m})\hat{\jmath}.

Passo 4

Cálculo do módulo de \vec{r} (aula rápida): o módulo de um vetor \vec{r}=(r_x,r_y) é dado pelo teorema de Pitágoras:
\|\vec{r}\| = \sqrt{r_x^{2}+r_y^{2}}.
Aqui r_x e r_y são as componentes cartesianas do vetor; a raiz quadrada dá a distância da origem até a ponta do vetor no plano.
Aplicando com os valores encontrados:
\|\vec{r}\| = \sqrt{(1,2\,\text{m})^{2} + (-0,2\,\text{m})^{2}}.
Calculando os quadrados (mostrando passo a passo):
(1,2)^{2} = 1,44,
(-0,2)^{2} = 0,04.
Somando:
1,44 + 0,04 = 1,48.
Logo
\|\vec{r}\| = \sqrt{1,48}\,\text{m}\approx 1,2166\,\text{m}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais) dá \|\vec{r}\|\approx 1,22\,\text{m}. (Deixo a escolha do número de casas decimais para você; a aproximação com três casas decimais também aparece acima.)

Passo 5

Cálculo do ângulo de orientação (aula e atenção com quadrante):
  • A fórmula básica para o ângulo \theta entre o vetor \vec{r} e o eixo x é
\theta = \arctan\!\left(\dfrac{r_y}{r_x}\right).
Aqui r_x e r_y são como antes. Atenção: a função \arctan dá um valor principal entre -90^\circ e 90^\circ; é preciso considerar o sinal de r_x e r_y para ajustar o quadrante corretamente.
No nosso caso r_x=1,2>0 e r_y=-0,2<0. Isso coloca \vec{r} no quarto quadrante (para a direita e para baixo). Então a fórmula direta \arctan(r_y/r_x) vai dar um ângulo negativo pequeno, que é correto se quiser o ângulo medido no sentido anti-horário a partir do eixo x (ângulo negativo indica abaixo do eixo x). Se preferir um ângulo entre 0^\circ e 360^\circ, pode somar 360^\circ.
Aplicando:
\theta = \arctan\!\left(\dfrac{-0,2}{1,2}\right)=\arctan(-0,166\overline{6}).
Aproximando com a calculadora de arco-tangente:
\theta \approx -9,46^\circ.
Se preferir o ângulo positivo no intervalo [0^\circ,360^\circ),
\theta_{\text{positivo}} = 360^\circ - 9,46^\circ = 350,54^\circ.
Conclusão sobre o ângulo: \theta \approx -9,46^\circ (ou 350,54^\circ se usar ângulo positivo padrão).

Passo 6

Resumo final em formas usuais (vetorial e polar) para usar na prova:
  • Forma cartesiana (componentes): \vec{r}=(1,2\,\text{m},\,-0,2\,\text{m}) ou \vec{r}=(1,2\,\text{m})\hat{\imath}-(0,2\,\text{m})\hat{\jmath}.
  • Módulo: \|\vec{r}\|\approx 1,2166\,\text{m} (aprox. 1,22\,\text{m}).
  • Direção: \theta\approx -9,46^\circ (ou 350,54^\circ).
Força a mão: eu sei que somar componente a componente parece mecânico, mas é a técnica que sempre funciona em prova — escreva os componentes claros e some calmamente; depois Pitágoras para o módulo e arctan para o ângulo. Vai dar tudo certo!

Resposta

\vec{r}=(1,2\,\text{m})\hat{\imath}-(0,2\,\text{m})\hat{\jmath}
\|\vec{r}\|=\sqrt{1,48}\,\text{m}\approx 1,2166\,\text{m} (aprox. 1,22\,\text{m})
\theta\approx -9,46^\circ (equivalente a 350,54^\circ em [0^\circ,360^\circ))

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