1. Um barco motorizado desce um rio deslocando-se de um porto A até um porto B, distante 36 km , em 0,90 \mathrm{~h}. Em seguida, esse mesmo barco sobe o rio deslocando-se do porto B até o porto A em 1,2 \mathrm{~h}. Sendo v_{B} a intensidade da velocidade do barco em relação às águas e v_{C} a intensidade da velocidade das águas em relação às margens, calcule v_{B} e v_{C}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas retiradas do enunciado):
  • A distância entre os portos é \;36\\ \mathrm{km}.
  • Tempo da descida (A para B): \;0,90\\ \mathrm{h}.
  • Tempo da subida (B para A): \;1,2\\ \mathrm{h}.
O enunciado pede para calcular:
  • \;v_{B}: intensidade da velocidade do barco em relação às águas (em \mathrm{km/h});
  • \;v_{C}: intensidade da velocidade das águas (correnteza) em relação às margens (em \mathrm{km/h}).

Passo 2

Entendendo o conceito físico e as incógnitas (aula rápida e direta).
  • Quando o barco vai descendo com a corrente (rio a favor), a velocidade em relação ao solo (margens) é a soma da velocidade do barco relativa à água com a velocidade da água relativa à margem. Em símbolos: \;v_{\text{desc}} = v_{B} + v_{C}.
  • Quando o barco sobe contra a corrente, a velocidade em relação ao solo é a velocidade do barco em relação à água menos a velocidade da água: \;v_{\text{sub}} = v_{B} - v_{C}.
Aqui \;v_{\text{desc}} e \;v_{\text{sub}} são as velocidades médias em relação às margens durante descida e subida, respectivamente. Essas velocidades podem ser obtidas dividindo a distância pelo tempo de cada trecho — isso vem da fórmula básica da cinemática: distância = velocidade × tempo, ou seja \;v = \dfrac{\text{distância}}{\text{tempo}}.â

Passo 3

Calcular as velocidades em relação às margens a partir dos tempos dados.
  • Velocidade média na descida:
v_{\text{desc}}=\dfrac{36}{0,90} = 40\\ \mathrm{km/h}.
  • Velocidade média na subida:
v_{\text{sub}}=\dfrac{36}{1,2} = 30\\ \mathrm{km/h}.

Passo 4

Escrever as equações usando as relações de Passo 2 com os valores obtidos no Passo 3:
v_{B}+v_{C}=40,
v_{B}-v_{C}=30.
Expliquei antes por que um sinal é positivo e o outro negativo: na descida a corrente soma, na subida a corrente subtrai.

Passo 5

Resolver o sistema linear (método direto e simples).
Somando as duas equações:
(v_{B}+v_{C})+(v_{B}-v_{C})=40+30 \quad\Rightarrow\quad 2v_{B}=70.
Logo,
v_{B}=\dfrac{70}{2}=35\\ \mathrm{km/h}.

Passo 6

Determinar \;v_{C} substituindo \;v_{B} em uma das equações ou subtraindo as equações.
Usando \;v_{B}+v_{C}=40:
v_{C}=40-v_{B}=40-35=5\\ \mathrm{km/h}.
(Alternativa: subtraindo as equações originais obtém-se 2v_{C}=10, então v_{C}=5\\ \mathrm{km/h}.)

Passo 7

Verificação rápida (controle de erro — passo importante na prova).
  • Descendendo: v_{B}+v_{C}=35+5=40\\ \mathrm{km/h} → tempo =36/40=0,90\\ \mathrm{h} (confere).
  • Subindo: v_{B}-v_{C}=35-5=30\\ \mathrm{km/h} → tempo =36/30=1,2\\ \mathrm{h} (confere).

Passo 8

Dica rápida para a prova (truque útil): depois de calcular as velocidades em relação às margens ( v_{\text{desc}} e v_{\text{sub}}), pode-se obter direto
v_{B}=\dfrac{v_{\text{desc}}+v_{\text{sub}}}{2},\qquad v_{C}=\dfrac{v_{\text{desc}}-v_{\text{sub}}}{2}.
No caso aqui: v_{B}=(40+30)/2=35 e v_{C}=(40-30)/2=5. Rápido e prático na prova.

Resposta

v_{B}=35\\ \mathrm{km/h}
v_{C}=5\\ \mathrm{km/h}

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