Uma espira circular no plano do papel está imersa em um campo magnético de 3,0 \mathrm{~T} apontando para dentro do papel. O diâmetro da espira varia de 100 cm para 60 cm em 0,5 s.
a) (1,0) Qual é a magnitude da força eletromotriz induzida média?
b) (1,0) Qual é a direção da corrente induzida? Se a resistência da bobina for de 0,05 \Omega, qual será a corrente induzida média?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados fornecidos:
  • Campo magnético: B=3{,}0\\ \mathrm{T}, apontando para dentro do papel.
  • Diâmetro inicial da espira: d_1=100\\ \mathrm{cm}=1{,}00\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro final da espira: d_2=60\\ \mathrm{cm}=0{,}60\\ \mathrm{m}.
  • Intervalo de tempo da variação: \Delta t=0{,}5\\ \mathrm{s}.
  • Resistência da bobina: R=0{,}05\\ \Omega (só usada na parte b).
Perguntas:
(a) Qual é a magnitude da força eletromotriz induzida média?
(b) Qual é a direção do sentido da corrente induzida? Se a resistência da bobina for R=0{,}05\\ \Omega, qual será a corrente induzida média?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho passo a passo).
  1. Fluxo magnético: a definição é
\Phi = \vec{B}\cdot\vec{A}=BA\cos\theta,
onde:
  • \Phi é o fluxo magnético (em weber, \mathrm{Wb}),
  • \vec{B} é o campo magnético (em tesla, \mathrm{T}),
  • \vec{A} é o vetor área da espira, com magnitude A e direção perpendicular à superfície (em \mathrm{m^2}),
  • \theta é o ângulo entre \vec{B} e \vec{A}.
No nosso caso o campo é perpendicular ao plano da espira (aponta para dentro do papel), então \cos\theta=\pm 1 e a magnitude do fluxo é simplesmente \Phi = B A. O sinal depende da orientação do vetor área, mas para calcular módulo da fem média usamos a variação do fluxo.
  1. Lei de Faraday (forma para a fem média durante mudança de fluxo):
\mathcal{E}_{\text{média}}=\left|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right|.é
Aqui \Delta\Phi é a variação do fluxo no intervalo \Delta t.
  1. Para uma espira circular a área é
A=\pi r^2=\frac{\pi d^2}{4},
onde r é o raio e d o diâmetro.
  1. Para a direção do sentido da corrente usamos a regra de Lenz: a corrente induzida tem sentido tal que o campo magnético que ela cria tende a se opor à variação do fluxo que causou a fem. Para relacionar sentido de corrente e direção do campo resultante usa-se a regra da mão direita: corrente no sentido anti-horário (visto da frente) produz campo para fora do plano; sentido horário produz campo para dentro do plano.

Passo 3

Calcular as áreas inicial e final (mostrando cada passo numérico).
Primeiro transformar diâmetros em metros:
d_1=1{,}00\\ \mathrm{m},\qquad d_2=0{,}60\\ \mathrm{m}.
Raio correspondente:
r_1=\frac{d_1}{2}=0{,}50\\ \mathrm{m},\qquad r_2=\frac{d_2}{2}=0{,}30\\ \mathrm{m}.
Agora as áreas:
A_1=\pi r_1^2=\pi(0{,}50)^2=\pi\cdot 0{,}25=0{,}25\pi\\ \mathrm{m^2},
A_2=\pi r_2^2=\pi(0{,}30)^2=\pi\cdot 0{,}09=0{,}09\pi\\ \mathrm{m^2}.
Aproximando \pi\approx 3{,}1416 para cálculo numérico:
A_1\approx 0{,}25\cdot 3{,}1416=0{,}7854\\ \mathrm{m^2},
A_2\approx 0{,}09\cdot 3{,}1416=0{,}2827\\ \mathrm{m^2}.
Variação de área:
\Delta A = A_2-A_1 \approx 0{,}2827-0{,}7854=-0{,}5027\\ \mathrm{m^2}.
O sinal negativo indica que a área diminuiu.

Passo 4

Calcular a variação do fluxo magnético e a fem média usando Faraday.
Como o campo é perpendicular e íntegro na região da espira, a variação de fluxo é
\Delta\Phi = B\,\Delta A.
Substituindo B=3{,}0\\ \mathrm{T} e \Delta A\approx -0{,}5027\\ \mathrm{m^2}:
\Delta\Phi \approx 3{,}0\cdot(-0{,}5027)=-1{,}5081\\ \mathrm{Wb}.
A fem média (magnitude) é
\mathcal{E}_{\text{média}}=\left|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right| =\left|\frac{-1{,}5081}{0{,}5}\right|\\ \mathrm{V} \approx 3{,}016\\ \mathrm{V}.é
Arredondando de forma consistente com os dados (duas casas significativas), fica
\mathcal{E}_{\text{média}}\approx 3{,}0\\ \mathrm{V}.é

Passo 5

Determinar a direção do sentido da corrente induzida (explicando com Lenz).
  • Antes da variação havia fluxo para dentro do papel (campo B aponta para dentro).
  • A área da espira diminuiu, portanto o fluxo para dentro do papel diminuiu (o valor do fluxo negativo/positivo tem módulo menor). Ou seja, há uma diminuição do fluxo que aponta para dentro.
  • Segundo a regra de Lenz, a corrente induzida vai criar um campo que se opõe à variação: ela tentará gerar um campo adicional para dentro do papel (para aumentar o fluxo que está decrescendo e assim se opor à mudança).
  • Para criar um campo para dentro do papel, a corrente na espira deve ser no sentido horário (visto de quem olha para o papel). Portanto o sentido induzido é horário.

Passo 6

Calcular a corrente média usando a fem média e a resistência (Lei de Ohm).
A relação é
I_{\text{média}}=\frac{\mathcal{E}_{\text{média}}}{R}.éé
Substituindo \mathcal{E}_{\text{média}}\approx 3{,}016\\ \mathrm{V}é e R=0{,}05\\ \Omega:
I_{\text{média}}\approx\frac{3{,}016}{0{,}05}=60{,}32\\ \mathrm{A}.é
Arredondando consistentemente: I_{\text{média}}\approx 60\\ \mathrm{A}.é

Resposta

(a) \mathcal{E}_{\text{média}}\approx 3{,}0\\ \mathrm{V}é
(b) Sentido horário; I_{\text{média}}\approx 60\\ \mathrm{A}é

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