4^circ ) Considere uma esfera maciça isolante de raio R com carga positiva Q distribuída uniformemente ao todo o volume.
(a) Calcule o volume da esfera para um raio r <= R.
(b) Calcule o módulo do campo elétrico em um ponto P a uma distância r<R;
(c) Usando a lei de Gauss, calcule o campo elétrico interno a esfera;
(d) Esboce o gráfico do campo elétrico para r <= R e para r >= R.

Passo 1

O enunciado trata de uma esfera maciça isolante de raio R com carga total Q distribuída uniformemente pelo volume. Precisamos (a) obter o volume interno até um raio r<= R; (b) calcular o módulo do campo elétrico num ponto P a uma distância r<R usando argumento de superposição e o teorema da casca esférica; (c) repetir esse cálculo usando a lei de Gauss; (d) esboçar o gráfico de E(r) para r<= R e para r>= R.

Passo 2

Para encontrar o volume interno até um raio r, usamos a fórmula do volume de uma esfera de raio r:
V(r)=integral0^r4pi r'^2,dr'=tfrac43pi r^3

Passo 3

Como a carga Q está uniformemente distribuída, a densidade volumétrica é
rho=QV(R)=Qtfrac43pi R^3
Logo, a carga contida dentro de r é
Qrm int(r)=rho,V(r) =Qtfrac43pi R^3timestfrac43pi r^3 =Qr^3R^3

Passo 4

Pelo teorema da casca esférica, camadas esféricas externas a r não contribuem para o campo interno. Assim, trata-se como se toda carga interna Qrm int(r) estivesse concentrada no centro. Usando a lei de Coulomb para uma carga pontual:
E(r) =14pivarepsilon0Qrm int(r)r^2 =14pivarepsilon0Q,r^3/R^3r^2 =14pivarepsilon0QR^3,r, r<R

Passo 5

Usando a lei de Gauss, consideramos uma superfície esférica de raio r<R. Pela simetria, E é radial e de módulo constante sobre a superfície, de área 4pi r^2. A lei de Gauss diz
ointEcdot dA =E(r),4pi r^2 =Qrm int(r)varepsilon0 ;Longrightarrow; E(r) =Qrm int(r)4pivarepsilon0,r^2 =14pivarepsilon0QR^3,r,
confirmando o resultado do passo anterior.

Passo 6

Para r>= R, toda a carga Q está dentro da superfície gaussiana de raio r, logo
E(r) =14pivarepsilon0Qr^2, r>= R

Passo 7

O gráfico de E(r) versus r é dado por:
– Para 0<= r<= R, E(r) cresce linearmente segundo
E(r)=14pivarepsilon0QR^3,r
– Para r>= R, E(r) decai como 1/r^2:
E(r)=14pivarepsilon0Qr^2
No ponto r=R as duas expressões coincidem garantindo continuidade de E(r).

Resposta

(a) V(r)=tfrac43pi r^3
(b) E(r)=14pivarepsilon0QR^3,r para r<R.
(c) Usando a lei de Gauss chega-se ao mesmo E(r)=14pivarepsilon0QR^3,r.
(d) Gráfico: ;E(r)propto r até r=R e ;E(r)propto1/r^2 para r>= R.

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