) Considere uma esfera maciça isolante de raio
com carga positiva
distribuída uniformemente ao todo o volume.
(a) Calcule o volume da esfera para um raio
.
(b) Calcule o módulo do campo elétrico em um ponto P a uma distância
;
(c) Usando a lei de Gauss, calcule o campo elétrico interno a esfera;
(d) Esboce o gráfico do campo elétrico para
e para
.
(a) Calcule o volume da esfera para um raio
(b) Calcule o módulo do campo elétrico em um ponto P a uma distância
(c) Usando a lei de Gauss, calcule o campo elétrico interno a esfera;
(d) Esboce o gráfico do campo elétrico para
Passo 1
O enunciado trata de uma esfera maciça isolante de raio
com carga total
distribuída uniformemente pelo volume. Precisamos (a) obter o volume interno até um raio
; (b) calcular o módulo do campo elétrico num ponto
a uma distância
usando argumento de superposição e o teorema da casca esférica; (c) repetir esse cálculo usando a lei de Gauss; (d) esboçar o gráfico de
para
e para
.
Passo 2
Para encontrar o volume interno até um raio
, usamos a fórmula do volume de uma esfera de raio
:
Passo 3
Como a carga
está uniformemente distribuída, a densidade volumétrica é
Logo, a carga contida dentro de
é
Passo 4
Pelo teorema da casca esférica, camadas esféricas externas a
não contribuem para o campo interno. Assim, trata-se como se toda carga interna
estivesse concentrada no centro. Usando a lei de Coulomb para uma carga pontual:
Passo 5
Usando a lei de Gauss, consideramos uma superfície esférica de raio
. Pela simetria,
é radial e de módulo constante sobre a superfície, de área
. A lei de Gauss diz
confirmando o resultado do passo anterior.
Passo 6
Para
, toda a carga
está dentro da superfície gaussiana de raio
, logo
Passo 7
O gráfico de
versus
é dado por:
– Para ,
cresce linearmente segundo
– Para
– Para
,
decai como
:
No ponto
as duas expressões coincidem garantindo continuidade de
.
Resposta
(a)
(b) para
.
(c) Usando a lei de Gauss chega-se ao mesmo .
(d) Gráfico: até
e
para
.
(b)
(c) Usando a lei de Gauss chega-se ao mesmo
(d) Gráfico: