5^circ ) Um condutor com uma cavidade possui carga total igual a =7 nC. A carga puntiforme no interior da cavidade, isolada do condutor, é igual a=-5 nC.
(a) Calcule a carga existente em cada superfície (interna e externa) do condutor?.
(b) Calcule o módulo do campo elétrico em um ponto P a uma distância r<R;
(c) Usando a lei de Gauss, calcule o campo elétrico interno a esfera;
(d) Esboce o gráfico do campo elétrico para r <= R e para r >= R.

Passo 1

O enunciado descreve um condutor com cavidade que, em equilíbrio eletrostático, tem carga total Qrm cond=+7;nC. No interior da cavidade existe uma carga pontual isolada de q=-5;nC. O objetivo é usar as propriedades de condutores em equilíbrio (campo nulo no metal, cargas induzidas que cancelam o interior) e a lei de Gauss para determinar:
  • (a) as cargas nas superfícies interna e externa do condutor;
  • (b) o módulo do campo em um ponto P situado a uma distância r<Rrm cav da carga pontual;
  • (c) o campo no interior do metal;
  • (d) o gráfico de E(r) para r<= R e r>= R, sendo R o raio externo do condutor.

Passo 2

Parte (a): em equilíbrio eletrostático a carga induzida na superfície interna do condutor deve anular a carga interna pontual, isto é
Qrm int=-,q=(-1)times(-5;nC)=+5;nC
Como o condutor inteiro tem +7;nC, a carga remanescente fica na superfície externa:
Qrm ext=Qrm cond-Qrm int =7;nC-5;nC=+2;nC

Passo 3

Parte (b): para um ponto P dentro da cavidade esférica, a uma distância r<Rrm cav do centro onde está a carga q=-5;nC, aplicamos Gauss numa esfera de raio r. Como o campo é radial, obtemos
oint Ecdot dA =E(r),4pi r^2 =qvarepsilon0,
logo o módulo é
E(r) =14pivarepsilon0,|q|r^2 =14pivarepsilon0,5times10^-9r^2,

Passo 4

Parte (c): para Rrm cav<r<R, ou seja, dentro do metal, o campo elétrico em regime estático vale
E(r)=0

Passo 5

Parte (d): o gráfico de E(r) versus r (módulo) é piecewise:
– Para 0<r<= Rrm cav: E(r)propto1/r^2 com constante 5;nC.
– Para Rrm cav<r<R: E(r)=0.
– Para r>= R: comporta-se como se toda carga externa fosse Qrm ext=+2;nC, ou seja
E(r)=14pivarepsilon0,2times10^-9r^2

Resposta

(a) Qrm int=+5;nC, Qrm ext=+2;nC.
(b) E(r)=14pivarepsilon0,5times10^-9r^2 para r<Rrm cav.
(c) E(r)=0 para Rrm cav<r<R.
(d) Gráfico de E(r) decaindo como 1/r^2 até Rrm cav, anulando entre Rrm cav e R, e depois decaindo como 1/r^2 com carga efetiva +2;nC.

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