1^circ ) Uma superfície fechada imaginária em forma de cubo de lado L está em uma região onde existe um campo elétrico uniforme. Calcule o fluxo elétrico através de cada face do cubo e o fluxo total através do cubo quando:
(a) ele está orientado ao longo do eixo-ox;
(b) ele sofre um giro de um ângulo 45^circ em torno do eixo-z.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo elétrico
Phi=integral duplaSEcdot dA
através de cada face de um cubo de aresta L imerso em um campo uniforme E. Para resolver, vamos usar que, em cada face plana de área A=L^2 com vetor normal unitário n,
Phi = E,A,costheta
onde theta é o ângulo entre E e n. O campo é E=E,i.

Passo 2

(a) Cubo alinhado aos eixos. As seis faces têm normais
pmi,pmj,pmk.
  • Para a face de normal +i: theta=0,
Phi+x=E,L^2cos0=E,L^2
  • Para a face de normal -i: theta=180^circ,
Phi-x=E,L^2cos180^circ=-E,L^2
  • Nas faces de normal pmj e pmk o campo é ortogonal ao normal, logo
Phipm y=Phipm z=0

Passo 3

Somando as seis contribuições no caso (a),
Phirm total =E,L^2 +(-E,L^2)+0+0+0+0=0

Passo 4

(b) Agora giramos o cubo em phi=45^circ em torno do eixo z. As faces que antes tinham normais pmi passam a ter
nx^pm=pml(cosphi,i+sinphi,jr),
e as que tinham normais pmj passam a ter
ny^pm=pml(-sinphi,i+cosphi,jr)
Como E=E,i, em cada uma dessas faces
Phi=E,L^2,(icdotn)

Passo 5

Para phi=45^circ (e cos45^circ=sin45^circ=1/raiz2) obtemos:
  • Face oriunda de +i:
Phi1 =E,L^2,(icdot(cos45^circ,i+sin45^circ,j)) =E,L^2raiz2
  • Face oriunda de -i:
Phi2 =E,L^2,(icdot(-cos45^circ,i-sin45^circ,j)) =-E,L^2raiz2
  • Face oriunda de +j:
Phi3 =E,L^2,(icdot(-sin45^circ,i+cos45^circ,j)) =-E,L^2raiz2
  • Face oriunda de -j:
Phi4 =E,L^2,(icdot(sin45^circ,i-cos45^circ,j)) =+E,L^2raiz2
  • Nas faces de normal pmk continua Phi=0.
Somando as quatro não nulas e as duas zero, o fluxo total em (b) também é zero:
Phirm total=0

Resposta

(a)
Phi+x=E,L^2,\
Phi-x=-E,L^2,\
Phipm y=Phipm z=0,\
Phirm total=0
(b)
Phi1=+tfracE,L^2raiz2,\
Phi2=-tfracE,L^2raiz2,\
Phi3=-tfracE,L^2raiz2,\
Phi4=+tfracE,L^2raiz2,\
Phipm z=0,\
Phirm total=0

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