3^{\circ} ) Considere o seguinte Problema de Valor Inicial (PVI):
y^{\prime \prime}(t)-5 y^{\prime}(t)-6 y(t)=4 t ; \quad y(0)=9 ; \quad y^{\prime}(0)=7
Utilizando a propriedade da Transformada de Laplace da Derivada, encontre a função Y(s) tal que a solução do PVI seja dada por y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}.

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
y''(t)-5\,y'(t)-6\,y(t)=4\,t\,,\quad y(0)=9\,,\;y'(0)=7
e pede a transformada Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Vamos usar as propriedades
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0) e
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0).

Passo 2

Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados do PVI, obtemos
\mathcal{L}\{y''\}-5\,\mathcal{L}\{y'\}-6\,\mathcal{L}\{y\} =\mathcal{L}\{4t\}\,.
Substituindo as fórmulas:
\bigl(s^2Y(s)-s\cdot9-7\bigr)-5\bigl(sY(s)-9\bigr)-6Y(s) =\frac{4}{s^2}\,.

Passo 3

Distribuindo e agrupando os termos em Y(s) e os termos constantes, fica
s^2Y(s)-9s-7-5sY(s)+45-6Y(s)=\frac{4}{s^2} \;\;\Longrightarrow\;\; Y(s)\bigl(s^2-5s-6\bigr)+(-9s+38)=\frac{4}{s^2}\,.

Passo 4

Isolando Y(s), passamos o termo -9s+38 para o lado direito:
\bigl(s^2-5s-6\bigr)\,Y(s) =9s-38+\frac{4}{s^2} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) =\frac{9s-38}{s^2-5s-6}+\frac{4}{s^2\,(s^2-5s-6)}.

Resposta

Y(s) =\frac{9s-38}{s^2-5s-6} +\frac{4}{s^2\,(s^2-5s-6)}
ou, combinando em uma única fração,
Y(s)=\frac{9s^3-38s^2+4}{s^2\,(s^2-5s-6)}.

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