Questão 4. Calcule o fluxo do rotacional do campo vetorial vec{F}(x, y, z) através da superfície σ nos seguntes casos:
vec{F}(x, y, z)=x^{3} \vec{k} e z=x+y-4, com x^{2}+y^{2} \leq 1 sendo \vec{n} a normal unitária com x>0.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do rotacional de \vec{F}(x,y,z)=x^{3}\,\vec{k} através da porção da superfície plana
\sigma:\;z = x + y - 4,\quad x^{2}+y^{2}\le1,
com a normal unitária \vec{n} escolhida de modo que tenha componente x>0. Vamos usar a fórmula do fluxo
\iint_{\sigma}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS
e parametrizar \sigma sobre o disco D:\,x^{2}+y^{2}\le1.

Passo 2

Calcular o rotacional de \vec{F}. Pela definição
\nabla\times\vec{F} =\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\\\ 0&0&x^3 \end{vmatrix} =(0-\!0)\,\vec{i}-(0-\!3x^2)\,\vec{j}+(0-0)\,\vec{k} =(0,\,-3x^2,\,0).

Passo 3

Parametrizamos \sigma por
\vec{r}(x,y)=(x,y,x+y-4),\quad(x,y)\in D,
e calculamos
\vec{r}_x=(1,0,1),\quad \vec{r}_y=(0,1,1).
O produto vetorial que aponta para x<0 é
\vec{r}_x\times\vec{r}_y=(-1,-1,1),
logo, para ter n_x>0 invertemos a ordem e usamos
\vec{n}\,dS =\vec{r}_y\times\vec{r}_x =(1,1,-1)\,dA,
onde dA=dx\,dy.

Passo 4

O fluxo fica
\iint_{\sigma}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS =\iint_{D}(0,-3x^2,0)\cdot(1,1,-1)\,dA =\iint_{D}(-3x^2)\,dA.
Em coordenadas polares (x=r\cos\theta,y=r\sin\theta), dA=r\,dr\,d\theta e D\colon 0\le r\le1,\;0\le\theta\le2\pi.

Passo 5

Avaliaremos
\iint_{D}(-3x^2)\,dA =-3\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(r\cos\theta)^{2}\,r\,dr\,d\theta =-3\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\;\int_{0}^{1}r^{3}\,dr.
Calculando separadamente
\int_{0}^{1}r^{3}\,dr=\frac{1}{4},\quad \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta=\pi,
logo
\iint_{D}(-3x^2)\,dA =-3\cdot\pi\cdot\frac{1}{4} =-\frac{3\pi}{4}.

Resposta

O fluxo do rotacional de \vec{F} através de \sigma com a normal escolhida é
-\frac{3\pi}{4}.

Exercícios relacionados