Verifique se a função f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{3 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right. é contínua em \mathbb{R}^{2}. Justifique a resposta dada.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[1em] 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua em \mathbb{R}^{2}.
O que precisamos usar é a definição de continuidade: mostrar que em todo ponto (x_{0},y_{0}) temos
\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}f(x,y)=f(x_{0},y_{0}).
O único ponto em que pode haver problema é (0,0); nos demais a função é razão de polinômios com denominador não nulo.]

Passo 2

Para (x_{0},y_{0})\neq(0,0) a função
(x,y)\mapsto \frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}
é quociente de funções polinomiais contínuas e com x^{2}+y^{2}\neq0. Logo
\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}f(x,y)=\frac{3x_{0}^{2}y_{0}}{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}} =f(x_{0},y_{0}),
portanto f é contínua em todo ponto fora da origem.

Passo 3

No ponto (0,0), usamos coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,
com r\ge0. Para (x,y)\neq(0,0) temos
f(r,\theta) =\frac{3(r\cos\theta)^{2}(r\sin\theta)}{r^{2}} =3r\cos^{2}\theta\,\sin\theta.
Dessa forma
\bigl|f(r,\theta)\bigr| \;=\;3r\bigl|\cos^{2}\theta\,\sin\theta\bigr| \;\le\;3r,
pois \bigl|\cos^{2}\theta\,\sin\theta\bigr|\le1.

Passo 4

Como 0\le\bigl|f(r,\theta)\bigr|\le3r e r\to0 implica 3r\to0, pelo Teorema do Confronto
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.
Como f(0,0)=0, obtemos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0),
logo f é contínua também na origem.

Resposta

A função f é contínua em todo \mathbb{R}^{2}.

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