1^{\circ} ) Uma massa de 25 kg está suspensa por uma mola cuja constante é k=145 \mathrm{N} / \mathrm{m} e permanece em repouso. Ela é então colocada em movimento livre não-amortecido com uma velocidade de 45,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine uma expressão x(t), para o movimento da massa, desprezando a resistência do ar (utilize 5 casas decimais com arredondamento para apresentação de coeficientes).

Passo 1

O enunciado trata de um sistema massa-mola sem amortecimento em repouso no equilíbrio estático. Temos m=25,kg, k=145,N/m e a massa recebe, no instante t=0, velocidade inicial v(0)=45,8,m/s. Queremos a solução x(t) do movimento harmônico simples em torno da posição de equilíbrio.

Passo 2

O movimento satisfaz
m\,x''+k\,x=0,
cuja frequência angular é
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{145}{25}}=\sqrt{5,8}=2,40832\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

A solução geral é
x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t).
Como escolhemos x=0 na posição de equilíbrio, temos
x(0)=A=0.
Derivando,
x'(t)=-A\,\omega\sin(\omega t)+B\,\omega\cos(\omega t),
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x'(0)=B\,\omega=45,8\implies B=\frac{45,8}{2,40832}=19,01741.

Passo 4

Substituindo A e B na solução, obtemos
x(t)=19,01741\;\sin\bigl(2,40832\,t\bigr)\quad\text{(metros)}.

Resposta

x(t)=19,01741\;\sin\bigl(2,40832\,t\bigr)\\ \mathrm{m}.

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