) Considere a transformação linear
tal que
.
a) Determine
e uma base para
.
b)
é injetiva? Justifique.
c) T é um isomorfismo? Justifique.
d) Obtenha
, caso exista.
a) Determine
b)
c) T é um isomorfismo? Justifique.
d) Obtenha
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede:
a) e uma base de
.
b) se é injetiva.
c) se é um isomorfismo.
d) a inversa , caso exista.
Vamos usar teoria de núcleo e imagem, o teorema do posto e nulidade, e resolução de sistema linear para achar a inversa.
a)
b) se
c) se
d) a inversa
Vamos usar teoria de núcleo e imagem, o teorema do posto e nulidade, e resolução de sistema linear para achar a inversa.
Passo 2
Para achar
, resolvemos
Isso dá o sistema
Daí
, em seguida
e finalmente
. Logo
Passo 3
Pela dimensão de
ser 3 e
, o posto de
é
Como
também tem dimensão 3, segue que
. Uma base natural é
Passo 4
Passo 5
Uma transformação linear entre espaços de mesma dimensão finita é isomorfismo se e somente se for injetiva (ou sobrejetiva). Como
é injetiva e
,
é um isomorfismo.
Passo 6
Para obter
, seja
. Queremos
tal que
Da primeira componente
. Da segunda
segue
. Da terceira
segue
. Portanto
Resposta
(a)
e uma base de
é
(b) é injetiva, pois
(c) é um isomorfismo, pois é injetiva e os espaços têm a mesma dimensão.
(d)
(b)
(c)
(d)