5^{\circ} ) Considere a transformação linear T: \mathbb{P}_{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T\left(a t^{2}+b t+c\right)=(a, a-b, b+c).
a) Determine \operatorname{Ker}(T) e uma base para \operatorname{Im}(T).
b) T é injetiva? Justifique.
c) T é um isomorfismo? Justifique.
d) Obtenha T^{-1}: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{P}_{2}, caso exista.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{P}_{2}\to\mathbb{R}^{3},\quad T(a t^{2}+b t+c)=(a,\;a-b,\;b+c),
e pede:
a) \ker(T) e uma base de \operatorname{Im}(T).
b) se T é injetiva.
c) se T é um isomorfismo.
d) a inversa T^{-1}, caso exista.
Vamos usar teoria de núcleo e imagem, o teorema do posto e nulidade, e resolução de sistema linear para achar a inversa.

Passo 2

Para achar \ker(T), resolvemos
T(a,b,c)=(a,\;a-b,\;b+c)=(0,0,0).
Isso dá o sistema
a=0,\quad a-b=0,\quad b+c=0.
Daí a=0, em seguida b=0 e finalmente c=0. Logo
\ker(T)=\{0\}.

Passo 3

Pela dimensão de \mathbb{P}_{2} ser 3 e \dim\ker(T)=0, o posto de T é
\dim\operatorname{Im}(T)=3-0=3.
Como \mathbb{R}^{3} também tem dimensão 3, segue que \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3}. Uma base natural é
\{(1,0,0),\;(0,1,0),\;(0,0,1)\}.

Passo 4

T é injetiva exatamente quando \ker(T)=\{0\}. Como acabamos de ver o núcleo é trivial, concluímos que T é injetiva.

Passo 5

Uma transformação linear entre espaços de mesma dimensão finita é isomorfismo se e somente se for injetiva (ou sobrejetiva). Como T é injetiva e \dim\mathbb{P}_{2}=\dim\mathbb{R}^{3}=3, T é um isomorfismo.

Passo 6

Para obter T^{-1}, seja (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}. Queremos (a,b,c) tal que
(a,\;a-b,\;b+c)=(x,y,z).
Da primeira componente a=x. Da segunda y=a-b segue b=a-y=x-y. Da terceira z=b+c segue c=z-b=z-(x-y)=z-x+y. Portanto
T^{-1}(x,y,z)=x\,t^{2}+(x-y)\,t+(z - x + y).

Resposta

(a) \ker(T)=\{0\} e uma base de \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3} é \{(1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\}.
(b) T é injetiva, pois \ker(T)=\{0\}.
(c) T é um isomorfismo, pois é injetiva e os espaços têm a mesma dimensão.
(d)
T^{-1}(x,y,z)=x\,t^{2}+(x-y)\,t+(z - x + y).

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