(Questão 01) [3,0 pontos] Assinale \mathbf{F} para as afirmações FALSAS e \mathbf{V} para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
( ) Se r \subset \pi, então d(r, \pi)=0.
( ) \mathrm{Se}(\vec{u}, \vec{v}) é LI, então (\vec{u}, \vec{v}, \vec{u} \wedge \vec{v}) é base.
( ) \vec{u} \cdot \vec{v} \wedge \vec{w}=\vec{u} \wedge \vec{v} \cdot \vec{w}, \quad \forall \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V^{3}.
( ) Sejam r: X=A+\lambda \vec{r} e s: X=B+\lambda \vec{s}, então r \cap s \neq \emptyset \Leftrightarrow[\overrightarrow{A B}, \vec{r}, \vec{s}]=0.
( ) d(r, s)=d(s, r), para quaisquer retas r e s. (\quad) \cos (\operatorname{ang}(r, s))=\frac{|\vec{r} \cdot \vec{s}|}{\|\vec{r}\|\|\mid \vec{s}\|}.
Passo 1
O enunciado apresenta seis afirmações sobre geometria vetorial no espaço e pede para marcar \mathbf{V} se a afirmação for verdadeira e \mathbf{F} se for falsa.
Passo 2
Analisando as afirmações em pares para agrupar raciocínios relacionados:
“Se r\subset\pi, então d(r,\pi)=0.”
Se a reta r está contida no plano \pi, a distância entre eles é zero. Logo, verdadeira.
“Se (\vec u,\vec v) é LI, então (\vec u,\vec v,\vec u\wedge\vec v) é base.”
Em \mathbb R^3, vetores LI \vec u e \vec v geram um plano; \vec u\wedge\vec v é perpendicular a ambos e não nulo, formando um conjunto LI de três vetores. Verdadeira.
Passo 3
“\vec u\cdot(\vec v\wedge\vec w)= (\vec u\wedge\vec v)\cdot\vec w, \forall\vec u,\vec v,\vec w.”
É justamente a propriedade cíclica do produto escalar-triplo. Verdadeira.
“Sejam r\colon X=A+\lambda\,\vec r e s\colon X=B+\lambda\,\vec s, então r\cap s\neq\emptyset\iff[\overrightarrow{AB},\vec r,\vec s]=0.”
A nulidade do produto escalar-triplo indica coplanaridade, mas não garante interseção (pode dar retas paralelas). Falsa.
Passo 4
“d(r,s)=d(s,r), para quaisquer retas r e s.”
A distância entre retas é simétrica. Verdadeira.
“\cos(\ang(r,s))=\dfrac{|\vec r\cdot\vec s|}{\|\vec r\|\|\vec s\|}.”
Definição de cosseno do ângulo agudo entre retas por seus vetores diretores. Verdadeira.